Secundaria Limite lateral

[juantv]

Buenas,


se me pide calcular el limite lateral (en verdad son varios, pero con guiarme en la forma de hacer uno tendré algo de luz sobre los otros) :




$\lim_{x \to 0^-}\frac{x}{|x|}$


¿que procedimiento debo seguir para calcular un limite lateral?


Mi intento :


si lo hago tabulando, dando valores a x próximos a cero por la izquierda y evaluando la función, ¿no seria una forma valida o si? si lo hago así, obtengo que $\lim_{x \to 0^-}\frac{x}{|x|} = -1$


si intento demostrar esto, tendría que demostrar la implicación


$\forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \delta > 0 \ 0-\delta<x<0 \longrightarrow |\frac{x}{|x|}-(-1)|<\varepsilon$


se tiene que


$|\frac{x}{|x|}-(-1)| = |\frac{x + |x|}{|x|}| = \frac{|x + |x||}{|x|}| \leq{\frac{|x| + |x|}{|x|}} = 2 > 0$


pero no entiendo que puedo concluir de eso, que dado un x tal que $-\delta<x<0$ tendré que $|\frac{x}{|x|}-(-1)|\leq{2}$ , me confundo en intentar sacar conclusiones, no he demostrado nada.






otra forma que se me ocurre es que


$\frac{x}{|x|}-(-1)| \leq{\frac{2 |x|}{|x|}}$


como $x$ tiende a cero por la izquierda puedo hacer variar $x$ entre -1 y 0 : $-1 < x < 0 < 1$ o $|x|<1$


con lo que


$\frac{x}{|x|}-(-1)| \leq{\frac{2 |x|}{|x|}} < 2|x|$


ahora sea $\delta = \frac{\varepsilon}{2}$ y dado que $-\delta<x<0$ o $|x|< \delta$


$\frac{x}{|x|}-(-1)| \leq{\frac{2 |x|}{|x|}} < 2|x| < 2 \delta = 2 \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$


osea $|\frac{x}{|x|}-(-1)| < \varepsilon$ que es a lo que quería llegar; osea que


$\lim_{x \to 0^-}\frac{x}{|x|} = -1$


¿es este procedimiento correcto?


si no lo es, ¿como puedo hallar un limite lateral o en su caso como demostrar que cierto valor es el valor del limite lateral?






Agradezco su orientación al respecto.

[pilimafiqui]

Re: Limite lateral

Cuando haces la operación x/ /x/ al ser por la izquierda es x / -x = -1 y al seguir haciendo la operación te queda /-1 +(-1)/=0 menor que E que es lo que quería demostrar.
Espero que te valga y sino vuelve a preguntar.