Secundaria función continua

[juantv]

Buenas,

creo que tengo un error al intentar demostrar que $f(x) =<br /> \left \{<br /> \begin{array}{rcl}<br /> x\sin(\frac{1}{x}), & \mbox{si } & x \neq{0} \\<br /> 0, & \mbox{si } & x = 0<br /> \end{array}<br /> \right .$ es continua en cero

Mi intento :


si es continua en cero, debe ser $\displaystyle\lim_{x\to 0}x\sin(1/x) = f(0) = 0$


pero $\displaystyle\lim_{x\to 0}x\sin(1/x) = \lim_{x\to 0}\frac{sin(1/x)}{(1/x)} = 1$ porque he usado $\displaystyle\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin \theta}{\theta} = 1$


asi que $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{sin(1/x)}{(1/x)}$ me da 1 y no 0


¿cual es mi fallo?


Agradezco su orientación al respecto.

[sater]

Re: función continua

creo que es que theta no tendería a cero, but I`m not sure.

[angel relativamente]

Re: función continua

Hombre porque en la propiedad $\displaystyle\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ queda implícito (añadido: mejor dicho, queda explícito) que lo que hay dentro del seno y lo que hay en el denominador tiende a 0. En la última que pones, es la x lo que tiende a 0, por lo que 1/x no tiende precisamente a 0.

[juantv]

Re: función continua

Cierto, ¿entonces que debo hacer para demostrar que es continua en cero?

- - - Actualizado - - -

en $\displaystyle\lim_{x\to 0}x\sin(1/x) = \lim_{x\to 0}\frac{sin(1/x)}{(1/x)}$ el numerador esta entre -1 y 1, en cambio el denominador tiende a infinito asi que la fraccion $\frac{sin(1/x)}{(1/x)}$ tiende a cero y $\displaystyle\lim_{x\to 0}x\sin(1/x) = \lim_{x\to 0}\frac{sin(1/x)}{(1/x)} = 0$


pero no se si esto es una forma correcta de calcular el limite,si no lo es, ¿como puedo demostrar que $\displaystyle\lim_{x\to 0}x\sin(1/x) = 0$ ?

[hennin]

Re: función continua

Es tan sencillo como acotar .

$\left\vert{} x\sin \frac{1}{x }\right\vert{} \leqslant\left\vert{} x \right\vert{}\to 0$ cuando $x\to 0$.

Fin de la demostración.

[juantv]

Re: función continua

mas o menos entiendo que como $|x \sin (\frac{1}{x}| \leqslant |x|$ y que si $x \to 0$ entonces $|x \sin (\frac{1}{x}| \to 0$

y $\displaystyle\lim_{x\to 0}|x\sin(1/x)| = 0$ pero mi función es $x\sin (1/x)$ no $|x\sin (1/x)|$

así que me parece que lo que dices es cierto para $|x\sin (1/x)|$ mas no lo veo muy claro para $x\sin (1/x)$ .

¿podrías explicármelo mejor?

(es mi primer curso de calculo)

Agradezco su orientación al respecto.

[hennin]

Re: función continua

No me hable de usted, soy alumno de grado igual que tú jaja.

Es la propia definición de límite. $\forall\varepsilon>0 \exists\delta>0$ tal que si $\left\vert{} x - x_0\right\vert{} < \delta \Rightarrow \left\vert{} f(x) - f(x_0) \right\vert{} < \varepsilon$.

En nuestro caso queremos probar eso para $x_0=0$ y $f(x_0)=0=L$.

Por tanto, tomamos $\varepsilon>0$. Si $\left\vert{} x \right\vert{}< \delta$ se tiene que $\left\vert{} x\sin\frac{1}{x }\right\vert{}\leqslant\left\vert{} x \right\vert{} < \delta$. Hay que encontrar dicho delta, y podemos tomar $\delta \leqslant \varepsilon$. Con lo que queda demostrado.

Esta es la versión formal (y también pedante a mi forma de ver, siempre que conozcas perfectamente lo que haces en cada paso puedes acortar como hice en la línea primera que escribí).

Espero haberte servido de ayuda, saludos .

[juantv]

Re: función continua

de esta forma si te entendí.

Gracias