Secundaria no existencia de limite

[juantv]

Buenas,


intento hacer esto:


Demuestre que $\displaystyle\lim_{x\to 0} \sin (1/x)$ no existe.


Mi intento:


supondre lo contrario, es decir, que el limite existe y es igual a L, esto es $\displaystyle\lim_{x\to 0} \sin (1/x) = L$


lo que quiere decir que $\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0: \quad 0<|x|< \delta \implies |\sin (1/x) - L |<\varepsilon$


observemos que $|\sin (1/x) - L | \leq{|\sin (1/x)| + |L| \leq{1 + |L|}}$ (pues $|\sin (1/x)| \leq{1}$ y por la desigualdad triangular)


así que tenemos $|\sin (1/x) - L | \leq{1 + |L|}$


veamos que $L$ no puede ser cero y tampoco diferente de cero , esto es : no $L = 0$ y no $L \neq{0}$




si $L = 0$ tendría que llegar a que por la definición de limite


$|\sin (1/x)| < \varepsilon$


observo que


$\displaystyle |\sin (1/x)| \leq{\frac{|x|}{|x|}} < |x|$ (pues puedo suponer que x varia entre -1 y 1 ya que me acerco a cero : $-1 < x < 1$ o $|x|<1$ )


sea $\delta = \varepsilon$


$|\sin (1/x)| < |x| < \delta = \varepsilon$ esto debe ser cierto para cualquier $\varepsilon > 0$


sea $\varepsilon = \frac{1}{2}$ , tendre que


$|\sin (1/x)| < 1/2$ lo cual no es cierto pues $\sin (1/x)$ puede tomar valores por encima de $1/2$


con lo que mostramos que para $\varepsilon = \frac{1}{2}$ no se cumple y entonces el limite L no puede ser cero




si $L \neq{0}$ tendria que


$|\sin (1/x) - L | \leq{1 + |L|}$ o sea $\sin (1/x) \in [-1 + |L| , 1 +|L|]$ , ademas $1+|L| > 1$


pero $\sin (1/x) > 1$ es falso, luego el limite L no puede ser distinto de cero




como L no es cero y tampoco es distinto de cero concluimos que el limite no existe.




¿es este procedimiento correcto para demostrar que el limite no existe? si no lo es, ¿como puedo demostrar que un limite no existe?


Agradezco su orientación al respecto.

[InesIncinerate]

Re: no existencia de limite

Aunque en los ejercicios de matemáticas el fin justifique los medios, se me ocurre un camino algo más fácil. Basta con que calcules los límites laterales de la función, es decir:

- Límite de f(x) por la izquierda: $x$ se aproxima a $x_0$ por la izquierda, tomando valores algo más pequeños que $x_0$.
- Límite de f(x) por la derecha: $x$ se aproxima a $x_0$ por la derecha, tomando valores algo más grandes que $x_0$.

Calculas pues estos límites y si te sale que son diferentes es que el límite de la función en el punto considerado no existe.

En tu caso, como el punto al que tenderá x es 0, la distinción entre ambos casos será clara. Para el límite izquierdo tendrás que usar puntos negativos y para el derecho, positivos. Ah, y recuerda que el seno solo puede tomar valores entre -1 y 1. De todas formas te adelanto que esa función está un poco maldita...

[juantv]

Re: no existencia de limite

no veo muy bien como hacer lo que dices formalmente.

Sin embargo, quisiera saber ¿esta erróneo mi intento de demostración?, si es así, ¿donde esta el error?

- - - Actualizado - - -

Creo que ya encontré error en la demostración.

Aun así sigo sin saber que debo hacer.

- - - Actualizado - - -

¿Alguna orientación?


Agradezco su orientación al respecto.

- - - Actualizado - - -

intento de nuevo en esta parte:


supongamos que el limite es cero ($L = 0$)


por la definición de limite tendré que llegar a que


$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad 0<|x|< \delta \implies |\sin (1/x)|<\varepsilon$


esto es, debo llegar a que


$|\sin(1/x)|< \varepsilon$ para cualquier $\varepsilon > 0$


pero por ejemplo para $\varepsilon = \frac{1}{2}$


no podre encontrar un $\delta$ tal que si $|x|< \delta$ entonces $|\sin(1/x)|< \frac{1}{2}$


puesto que esto significaría que $-1/2 < \sin(1/x) < 1/2$ cuando sabemos que hay valores de x para los cuales $\sin(1/x) > 1/2$ (por ejemplo x = 0.01° que esta próximo a 0)


puesto que no se cumple para todo $\varepsilon$ entonces el limite no puede ser cero ($L = 0$ es falso)






supongamos que el limite es diferente de cero ( $L\neq{0}$ )


por la definición de limite tendré que llegar a que


$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad 0<|x|< \delta \implies |\sin (1/x) - L|<\varepsilon$


esto es, debo llegar a que


$|\sin(1/x) - L|< \varepsilon$ para cualquier $\varepsilon > 0$


tengo que $|\sin (1/x) - L | \leq{1 + |L|}$


osea $-1 + L - |L|\leq{\sin(1/x)\leq{1 + L + |L|}}$




si $L>0$ tendre que


$-1\leq{\sin(1/x)\leq{1 + 2L}}$ lo cual es falso porque $\sin(1/x) \leq{1}$ siempre


entonces el limite no puede ser mayor que cero ($L>0$ es falso)




si $L<0$ tendre que


$-1 + 2L\leq{\sin(1/x)\leq{1}}$ lo cual es falso porque $\sin(1/x) \geq{-1}$ siempre


entonces el limite no puede ser mayor que cero ($L>0$ es falso)


concluimos que L no puede ser distinto de cero (no es posible $L>0$ y no es posible $L<0$)




como el limite $L$ no es cero y tampoco es diferente de cero entonces $L$ no existe.




de nuevo, ¿esta todo mal?, si es así, ¿como puedo corregirlo?




Agradezco su orientación al respecto.