1r ciclo Demostración por inducción.

[natanael]

Tengo que demostrar esto

${\left( z_1+z_2 \right)}^{ n}=\sum_{k = 0}^n \frac{n!}{ k!\left( n-k \right) !} {z_1}^{ n-k}{z_2}^{ k}$

pero con la condicion de que $z_1$ y $z_2$ joden es en los complejos, y $k$ en los naturales.

Entonces, entiendo que es equivalente a demostrar que $n$ jode tambien en los naturales, pero.., usando el metodo indutivo.

Imagino que, para ello, tengo que demostrar que

${\left( z_1+z_2 \right)}^{ n+1}=\sum_{k = 0}^{n+1} \frac{(n+1)!}{ k!\left( n+1-k \right) !} {z_1}^{ n+1-k}{z_2}^{ k}$

Lo que he hecho es esto, yo se que ${\left( z_1+z_2 \right)}^{ n+1}$ se puede escribir como ${\left( z_1+z_2 \right)}^{ n}{\left( z_1+z_2 \right)}$, luego esto es igual a $\sum_{k = 0}^n \frac{n!}{ k!\left( n-k \right) !} {z_1}^{ n-k}{z_2}^{ k}{\left( z_1+z_2 \right)}$, aplico distributiva $\sum_{k = 0}^n \frac{n!}{ k!\left( n-k \right) !} {z_1}^{ n+1-k}{z_2}^{ k}+\sum_{k = 0}^n \frac{n!}{ k!\left( n-k \right) !} {z_1}^{ n-k}{z_2}^{ k+1}$, luego hago el cambio $k+1=i$. asi que cuando $k=0$, $i=1$, por tanto, reescribo la ecuacion como $\sum_{i = 0}^n \frac{n!}{ i!\left( n-i \right) !} {z_1}^{ n+1-i}{z_2}^{ i}+\sum_{i = 1}^n \frac{n!}{ (i-1)!\left( n+1-i \right) !} {z_1}^{ n+1-i}{z_2}^{i}$, ahora no se si deberia de demostrar que

$\frac{n!}{ i!\left( n-i \right) !}+\frac{n!}{ (i-1)!\left( n+1-i \right) !}=\frac{(n+1)!}{ i!\left( n+1-i \right) !}$, pero eso si que lo veo dificil, ademas de no poder sacar factor comun ${z_1}^{ n+1-i}{z_2}^{i}$, ya que las sumas no se realizan sobre los mismos conjuntos.

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