Divulgación Sera cierto esto.........

[natanael]

Digamos que tenemos el conjunto $\left\{ {1,2,3,4} \right\}$, si yo sumo los dos numeros que estan en los extremos, osea $1$ y $4$ obtengo $5$, y si sumo los dos numeros centrales, obtengo $5$. Vamos con el conjunto $\left\{ {1,2,3,4,5,6,7,8} \right\}$, si yo sumo la mitad de los numeros del conjunto pero solo los de los extremos, es decir, el conjunto $\left\{ {1,2,7,8} \right\}$ obtengo $18$, luego sumo la otra mitad de los numeros, $\left\{ {3,4,5,6} \right\}$ y obtengo $18$. Siguiendo la secuencia, para $\left\{ {1,2,3,...,16} \right\}$ obtengo $68$ para ambas sumas, y asi sucesivamente. Viendo la secuencia, para un conjunto de $N$ elementos, se pudiera demostrar que si $N$ es un numero natural divisible por $4$ distinto de 0, entonces

$\sum_{n=1}^{\frac{N}{4}}n-\sum_{n=\frac{N}{4}}^{\frac{3N}{4}}n+\sum_{n=\frac{3N}{4}}^{N}n=0$...........?

EDITO:-------------------------------------------------------------------------

Bueno, ya un compañero del departamento me encontro un error. En vez de

$\sum_{n=1}^{\frac{N}{4}}n-\sum_{n=\frac{N}{4}}^{\frac{3N}{4}}n+\sum_{n=\frac{3N}{4}}^{N}n=0$

hay que sumar un uno a varios de los indices de las sumas, quedando

$\dst \sum_{n=1}^{\frac{N}{4}}n-\sum_{n=\frac{N}{4}+1}^{\frac{3N}{4}}n+\sum_{n=\frac{3N}{4}+1}^{N}n=0$

claro, no puedo tomar dos veces a un mismo elemento del conjunto, ya que no se cumpliria la ecuacion.