Secundaria Demostración sobre el numero e (acotación)

[juantv]

Buenas,


Tengo dudas acerca de como conseguir lo siguiente:


Demuestre que $2 < e < 2.8$ utilizando la formula $e = \lim_{n\to\infty} \left(1+{1\over n}\right)^n$




Mi intento :




tomando como hipótesis $e = \lim_{n\to\infty} \left(1+{1\over n}\right)^n$ , entonces


tendré que la sucesión [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es convergente


como a_n es convergente entonces $a_n$ es acotada , luego existen $m_1$ y $m_2$ tales que


$m_1 < a_n < m_2$


con lo que habré mostrado la existencia de dos cotas (una inferior y otra superior).


Ahora le doy valores a n en [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] para establecer dos cotas.


aqui me estanco, una cota inferior tal vez la pueda obtener de $n = 1$ , pues obtengo $a_1 = 2$


pero para la cota superior tendría que demostrar que $a_n < 2.8$ para todo n


o tal vez ver que a medida que crece $n$ (dándole valores) $a_n$ siempre es menor que $2.8$






pero no lo veo muy claro, ¿alguna orientación?






Agradezco su orientación al respecto.

[angel relativamente]

Re: Demostración sobre el numero e (acotación)

No me he parado a leer la demostración porque me he quedado un poco en shock con que $\ee < 2.7$, que es falso. No creo que por ningún método a partir de la definición de e vayas a conseguir tal acotación. De hecho no hace falta irse muy lejos, para n=100 ya ves que te se te sale de la cota.

[juantv]

Re: Demostración sobre el numero e (acotación)

Cierto, corregí el enunciado

es : Demuestre que $2 < e < 2.8$ utilizando la formula $e = \lim_{n\to\infty} \left(1+{1\over n}\right)^n$




Agradezco cualquier orientación al respecto

[angel relativamente]

Re: Demostración sobre el numero e (acotación)

Para la cota inferior es bien sencillo si conoces la desigualdad de Bernoulli: $(1+x)^n \geq 1+nx$. Con tu forma de ver que $a_1=2$ no basta porque has supuesto que la sucesión es monótona creciente (que en realidad lo es), sin haberlo demostrado, y podría ser que en realidad el límite de esa sucesión fuese menor que 2. Para la superior no lo he pensado mucho, pero no se trata de ir buscando cotas superiores a ciegas. Quizá haya que empezar demostrando que la sucesión es monótona creciente, y así ya sabes que todos los $a_n$ son estrictamente menores que $\ee$.

Un saludo

- - - Actualizado - - -

Quizá una forma de ver que 2,8 sea cota superior es la siguiente. Toma la sucesión $b_n = \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right) ^{n+1}$. Es sencillo demostrar que también tiende a $\ee$, pero esta es monótona estrictamente decreciente (habría que demostrarlo). Por tanto, cualquier $b_n$ es una cota superior de $\ee$, y puedes comprobar sin ninguna complicación que existen $n_0$ para los cuales $\ee < b_{n_0} < 2,8$.

Un saludo

[juantv]

Re: Demostración sobre el numero e (acotación)

intente mostrar que $b_n$ es decreciente ($b_n > b_{n+1}$) pero me sale tal cantidad de términos que no logro simplificar las operaciones, excepto por un factor pareciera que fuera lo contrario.

¿ alguna pista para mostrar que es decreciente ?


Agradezco su orientación al respecto.

[angel relativamente]

Re: Demostración sobre el numero e (acotación)

Lo que tienes que comprobar es equivalente a $\dfrac{b_n}{b_{n+1}} > 1$. Si empiezas a simplificar cosas seguro que llegas de forma sencilla a que $\dfrac{b_n}{b_{n+1}} > \dfrac{\left[ 1 + \dfrac{1}{(n+1)^2 } \right] ^{n+1 }}{1 + \dfrac{1}{n+1}}$, por lo cual $(b_n)_n$ es estrictamente decreciente si $\left[ 1 + \dfrac{1}{(n+1)^2 } \right] ^{n+1 } > 1 + \dfrac{1}{n+1}$ y esto último es consecuencia directa de la desigualdad de Bernoulli que te dicto en el primer mensaje.

Saludos,

[juantv]

Re: Demostración sobre el numero e (acotación)

$\displaystyle b_n = (1+\frac{1}{n})^{n+1}$

$\displaystyle b_{n+1} = (1+\frac{1}{n+1})^{n+2}$

$\displaystyle \frac{b_n}{b_{n+1}} = \frac{(1+\frac{1}{n})^n (1+\frac{1}{n})}{(1+\frac{1}{n+1})^{n+1} (1+\frac{1}{n+1})}$

...

- - - Actualizado - - -

si hago la expansión binomial creo que no me ayuda mucho ... ¿que me aconsejas?

[angel relativamente]

Re: Demostración sobre el numero e (acotación)

La idea es meter todo lo del exponente $n+1$ en el mismo saco:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Y como $(n+1)^2 > n(n+2)$, pues tienes que

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Y con eso ya concluyes a partir de lo que te dije en el mensaje anterior.

Espero que puedas ordenar todos los mensajes y solucionar el ejercicio con lo dicho. Si queda cualquier duda pregunta

Un saludo

[juantv]

Re: Demostración sobre el numero e (acotación)

Creo que lo consegui de esta forma

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


$\frac{(1+\frac{1}{n})^n (1+\frac{1}{n})}{(1+\frac{1}{n+1})^{n+1} (1+\frac{1}{n+1})}$ > ... = $\frac{n+2}{n+1} > 1[/COLOR]$

[angel relativamente]

Re: Demostración sobre el numero e (acotación)

Nota que para demostrar la cota inferior hemos usado la desigualdad de Bernoulli y ya está. Pero si nos hubiesen dicho demostrar por ejemplo que $2.7 < \ee < 2.8$, para la cota inferior hubiésemos tenido que demostrar que $(a_n)_n$ es estrictamente creciente y aplicar el mismo argumento. En general, sabiendo que $a_n \to \ee$ y $b_n \to \ee$ y que son estrictamente creciente y decreciente, respectivamente, puedes acotar $\ee$ tan bien como quieras tan solo dando valores altos de n a ambas sucesiones.

Saludos,

PD: En tu último mensaje me aparecen muchos errores de formato.

[juantv]

Re: Demostración sobre el numero e (acotación)

bueno, no se porque no sale el latex.

pero no importa, creo que ya entendí lo que has indicado


Gracias

[angel relativamente]

Re: Demostración sobre el numero e (acotación)

bueno, no se porque no sale el latex

Si copias-pegas el código de una ecuación te sale en un formato distinto. Así que una vez copias y pegas tienes que darle a quitar formato (seleccionas el texto y marcas el simbolito de la AAx que aparece arriba del cuadro).

Saludos,