Secundaria Acerca de limite

[juantv]

Buenas,

Tengo dudas acerca de como proceder en esto :


Halle $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \, \, \frac{e^x}{x}$


Mi intento :


como $\displaystyle \lim_{u\to \infty} \, \, \frac{ln(u)}{u} = 0$ (tengo una prueba de esto "aparte")


entonces $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \, \, \frac{x}{e^x} = 0$ (basta hacer $ln(u) = x$)


luego $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \, \, \frac{1}{\frac{x}{e^x}} = \infty$


osea $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \, \, \frac{e^x}{x} = \infty$




es correcto lo que he dicho?


aun si es correcto, no se como justificar ("formalmente") que si $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \, \, \frac{x}{e^x} = 0 \Rightarrow{\lim_{x\to \infty} \, \, \frac{1}{\frac{x}{e^x}} = \infty}$


Perdón si la duda es trivial.





Agradezco su orientación al respecto.

[Breogan]

Re: Acerca de limite

Hola:

Me parece que esta bien, aunque yo Hubiera echo distinto este paso:

entonces $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \, \, \frac{x}{e^x} = 0$ (basta hacer $ln(u) = x$)


luego $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \, \, \frac{1}{\frac{x}{e^x}} = \infty$


osea $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \, \, \frac{e^x}{x} = \infty$

yo hubiera puesto:

$\displaystyle \lim_{x\to \infty} \, \, \frac{x}{e^x} = 0$

$\displaystyle \lim_{x\to \infty} \, \, \frac{1}{\dst \frac {e^x} {x}}= 0 \quad \Leftrightarrow \quad \displaystyle \lim_{x\to \infty} \, \, \frac{\ee^x}{x} = \infty$

Igual creo que la forma mas directa de hacer este limite es aplicar directamente la regla de L'Hopital que dice:

$\dst \lim_{x \to a} \frac {f(x)}{g(x)}= \lim_{x \to a} \frac {f'(x)}{g'(x)}$

Creo !!!

Suerte