2o ciclo Área de esfera entre planos.

[leo_ro]

Tengo que hallar el valor del área de la superficie de ecuación ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=16$ , comprendida entre los planos $y=-2$ y $y=2$





El área total es:


$At= S1+S2$


En donde el area $S2$ es la superficie de intersección de los planos con la esfera.


$\dst S2=8\displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}} \displaystyle\int_{0}^{\sqrt[ ]{12}} r dr d \theta=24\pi$


El problema lo tengo al calcular la superficie de la esfera que está entre los planos. El vector normal a la superficie es $\vec{n}$


$\vec{n}= <2x;2y;2y >$ entonces [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


Por lo que la superficie S1


$\dst S1= 2 \displaystyle\int_{-2}^{2} \displaystyle\int_{-\sqrt[ ]{4-{y}^{2}}}^{\sqrt[ ]{4-{y}^{2}}} \sqrt[ ]{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}} dx dy$


Como la variable $z$ no puedo estar en el integrando ya que la región de integración está en el plano $xy$


$z=\sqrt[ ]{16-{x}^{2}-{y}^{2}}$


$\dst S1= 2 \displaystyle\int_{-2}^{2} \displaystyle\int_{-\sqrt[ ]{4-{y}^{2}}}^{\sqrt[ ]{4-{y}^{2}}} \sqrt[ ]{{x}^{2}+{y}^{2}+16-{x}^{2}-{y}^{2}} dx dy$


$\dst S1= 8\displaystyle\int_{-2}^{2} \displaystyle\int_{-\sqrt[ ]{4-{y}^{2}}}^{\sqrt[ ]{4-{y}^{2}}} dx dy = \displaystyle\frac{16}{3}\pi$


$At= S1+S2 = \displaystyle\frac{16}{3}\pi + 24\pi = \displaystyle\frac{88}{3}\pi$


Pero el resultado del problema me dice que el área total es $32\pi$. Ya lo he planteado muchas veces pero no he podido llegar al resultado :banghead: ¿Me dan una mano?

[arivasm]

Re: Área de esfera entre planos.

No sé si es imprescindible recurrir al enfoque que expones. Yo lo abordaría como el área de la superficie de revolución de la curva $y=\sqrt{16-x^2}$ alrededor del eje X y comprendida entre x=-2 y x=2. Como el área de la superficie de revolución generada por la porción de una curva y(x) comprendida entre x=a y x=b es

$\dst A = \int_a^b 2\pi y\dd l=2\pi\int_a^b y\sqrt{\dd x^2+\dd y^2}=2\pi\int_a^b y\sqrt{1+y'^2} \dd x$

y en nuestro caso, al derivar $x^2+y^2=16$ encontramos que $y'=-x/y$, entonces

$\dst A=2\pi \int_{-2}^2 y \sqrt{1+\frac{x^2}{y^2}}\dd x=2\pi \int_{-2}^2 y \sqrt{\frac{16}{y^2}}\dd x=2\pi \int_{-2}^2 4\dd x=32\pi$

[seltres]

Re: Área de esfera entre planos.

No sé si es imprescindible recurrir al enfoque que expones. Yo lo abordaría como el área de la superficie de revolución de la curva $y=\sqrt{16-x^2}$ alrededor del eje X y comprendida entre x=-2 y x=2. Como el área de la superficie de revolución generada por la porción de una curva y(x) comprendida entre x=a y x=b es

$\dst A = \int_a^b 2\pi y\dd l=2\pi\int_a^b y\sqrt{\dd x^2+\dd y^2}=2\pi\int_a^b y\sqrt{1+y'^2} \dd x$

y en nuestro caso, al derivar $x^2+y^2=16$ encontramos que $y'=-x/y$, entonces

$\dst A=2\pi \int_{-2}^2 y \sqrt{1+\frac{x^2}{y^2}}\dd x=2\pi \int_{-2}^2 y \sqrt{\frac{16}{y^2}}\dd x=2\pi \int_{-2}^2 4\dd x=32\pi$

Una pregunta ¿como se plantearía el problema con la misma esfera, si los planos fuesen z=-2 y z=2?, el resultado sera el mismo, pero me interesa el planteamiento, muchas gracias de antemano

[arivasm]

Re: Área de esfera entre planos.

La variable z jugaría el papel de la x. Intercámbialas y ya está. Por ejemplo, manejando la curva que genera la superficie de revolución como $y(z)=\sqrt{16-z^2}$ sería $\dst A = \int_a^b 2\pi y\dd l=2\pi\int_a^b y\sqrt{\dd z^2+\dd y^2}=2\pi\int_a^b y\sqrt{1+y'^2} \dd z$