2o ciclo Error en cálculo de flujo

[leo_ro]

Calcular la integral de linea del campo $\vec{F}(x,y,z)=y\hat{\imath}-x\hat{\jmath}+z\hat{k}$ a lo largo de la curva C intersección de la superficie ${x}^{2}+{z}^{2}=1$; $z=0$; $y=0$ y $y=x$


Lo hago mediante el teorema de stokes:


$rot(\vec{F}) = -3\hat{k}$


el vector normal de la superficie es el gradiente del cilindro es $\vec{n} = 2x\hat{i}+2z\hat{k}$


$rot(\vec {F})\cdot \vec{n} = -6z$


$\dst \displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\int_{0}^{x} -6z dy dx$


Como no tenemos el valor de z en los límites de integración


$\dst \displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\int_{0}^{x} -6\sqrt[ ]{1-{x}^{2}} dy dx=-2$


Aunque el problema me da como resultado que es $\displaystyle\frac{-3}{2}$


A mi parecer está mal el resultado que da el problema. Saludos.

[Umbopa]

Re: Error en cálculo de flujo

Como? no entiendo como se define la curva ... será la intersección entre el cilindro (x²+z²=1) y el plano (y=x) y ya esta no?

Por otro lado para aplicar stokes la superficie ha de estar limitada por la curva y no puede ser abierta (como un cilindro sin tapa) y hay que calcular el flujo en todas las caras (no se si lo has tenido en cuenta) .

[leo_ro]

Re: Error en cálculo de flujo

Esta es la gráfica de las superficies



Es decir, tenemos un cilindro ${x}^{2}+{z}^{2}=1$y los planos $z=0$; $y=0$ ; $y=x$.

La curva es la intersección de las superficies, tal cual como está en la gráfica



Como se ve por una integral de linea el cálculo sería muy engorroso por lo que lo más conveniente es utilizar stokes. La resolución es la que hice en el primer comentario. No veo donde está el error.

Saludos.

[javier m]

Re: Error en cálculo de flujo

El tema no lo recuerdo del todo (de hecho nunca hice unos tan díficles ), pero yo lo hago así:

$I=\int \nabla \times\vec{F} \cdot \vec{\dd S }$

Donde $\vec{\dd S }=(\vec{r_x} \times \vec{r_y})\dd x \dd y$

Donde $\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}=x\hat{i}+y\hat{j}+\sqrt{1-x^2}\hat{k}$

y:
$\vec{r_x}=\frac{\partial \vec{r}}{\partial x}=\hat{i}-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\hat{k}$

$\vec{r_y}=\frac{\partial \vec{r}}{\partial y}=\hat{j}$

Los límites son los que pusiste

Sí da.

[Breogan]

Re: Error en cálculo de flujo

Hola:

No me acuerdo nada del tema, y antes de opinar sobre algún procedimiento en particular, tengo que decir que creo que el enunciado del problema tal como esta transcripto:

Calcular la integral de linea del campo $\vec{F}(x,y,z)=y\hat{\imath}-x\hat{\jmath}+z\hat{k}$ a lo largo de la curva C intersección de la superficie ${x}^{2}+{z}^{2}=1$; $z=0$; $y=0$ y $y=x$

no es lo suficientemente claro como para definir univocamente la curva C sobre la cual hallar la integral de linea.

Tenemos un cilindro con su eje coincidente con el eje y, los planos xy y zx, y un plano que contiene al eje z y que es oblicuo. A partir de esto creo que la intersección de todas estas superficies es un conjunto nulo, es decir que no existe una curva (ni siquiera un punto) que pertenezca a todas estas superficies simultaneamente.

Ojo!!, puedo estar totalmente equivocado (en mi defensa alego que no pude hacer el dibujo ), pero creo que lo 1º que hay que hacer es clarificar el enunciado.

Disculpas si me equivoque.

Suerte

[Al2000]

Re: Error en cálculo de flujo

Comentaré que hice el cálculo de la integral de línea parametrizando la curva y el valor que obtengo es 1.

[Jose D. Escobedo]

Re: Error en cálculo de flujo

Calcular la integral de linea del campo $\vec{F}(x,y,z)=y\hat{\imath}-x\hat{\jmath}+z\hat{k}$ a lo largo de la curva C intersección de la superficie ${x}^{2}+{z}^{2}=1$; $z=0$; $y=0$ y $y=x$


Lo hago mediante el teorema de stokes:


$rot(\vec{F}) = -3\hat{k}$


el vector normal de la superficie es el gradiente del cilindro es $\vec{n} = 2x\hat{i}+2z\hat{k}$

Hola, leo_ro

1ro. A mi me resulta que: $\nabla \times (y\hat{\imath}-x\hat{\jmath}+z\hat{k})=-2\hat{k}$, te recomiendo que lo revises.

2do. En $\dst\iint_S \nabla \times \vec{F} \cdot \hat{n}dS$, $\hat{n}$ es un vector unitario, entonces $\hat{n}=x\hat{\imath}+z\hat{k}$

3ro $\hat{n} dS=\hat{k}dydx \Rightarrow dS=\dst \frac{dydx}{\hat{n}\cdot \hat{k} }=\dst \frac{dydx}{ z}$

$\dst \int_0^1 \int_0^x -2\hat{k} \cdot (x\hat{\imath}+z\hat{k}) \frac{dydx}{z } \Rightarrow$

$\dst \int_0^1 \int_0^x -2 dy dx =-1$

Saludos
Jose

[javier m]

Re: Error en cálculo de flujo

Bueno, a mi me daba $-3/2$ asumiendo que $rot(\vec{F}) = -3\hat{k}$. Cambiando ese 3 por un 2, también me da $-2/2=-1$

[leo_ro]

Re: Error en cálculo de flujo

Ya sé cual es el error. Es que el vector normal no es el gradiente de la superficie así porque sí. Sino que hay que parametrizar a la superficie [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Porque si se usara el gradiente de la superficie no sería el mismo para ${x}^{2}+{z}^{2}=1$ que para $100{x}^{2}+100{z}^{2}=100$. Por lo que

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]