Secundaria sobre polinomio caracteristico

[juantv]

Tengo dudas acerca de si esta proposición es falsa o verdadera

"si el polinomio característico de una matriz es de grado n entonces la matriz es de tamaño nxn"



Mi intento:


pues en mi libro aparece (sin demostración) que es cierto lo siguiente:

si A es de tamaño nxn entonces el polinomio característico es de grado n (¿alguien podría darme un enlace donde se demuestre esto de forma "elemental"?)

mas no veo inmediato que el reciproco sea cierto

pero tampoco logro dar un contra ejemplo



Agradezco su orientación al respecto.

[Turing]

Re: sobre polinomio caracteristico

Hola,

la propia definición del polinomio provoca eso. Piensa que siempre van a multiplicarse los n elementos de la diagonal principal y por lo tanto provocará que tenga un grado igual al tamaño de la matriz.

Un saludo.

[juantv]

Re: sobre polinomio caracteristico

lo que dices lo veo si estamos hablando de matrices diagonales, pero no me respondes a mi pregunta. ¿es el reciproco cierto?, es decir : si el grado del polinomio característico de una matriz es n entonces la matriz es de tamaño nxn ?

Agradezco su orientación al respecto

[Turing]

Re: sobre polinomio caracteristico

¿Por qué no lo ves en matrices no diagonales? Aún no siendo de ese tipo, vas a tener que multiplicar todos los miembros de la diagonal principal y va a ser el único caso de todo el determinante donde van a coincidir las n incógnitas que buscas.

¿Por qué crees que no debería cumplirse el recíproco?

[juantv]

Re: sobre polinomio caracteristico

lo siento, pero no lo veo. Parece ser que el reciproco se cumpliera (no encuentro contra ejemplo) pero no me basta con solo inspección.

no encuentro una demostración de ninguno de los dos casos (del teorema y de su reciproco si es que es cierto).

Agradezco su orientación al respecto

[Turing]

Re: sobre polinomio caracteristico

Intentemos de otra forma:

supongamos que tenemos un polinomio de grado n, sea cual sea la matriz de la cuál provenga. ¿Es posible pues que ese polinomio tenga un número mayor de valores propios que n (que llamaremos s) y, por lo tanto, la matriz diagonalizada tenga un tamaño sxs?

[Physicist]

Re: sobre polinomio caracteristico

Muy buenas:

Ese resultado lo demuestra el Teorema Fundamental del Álgebra, que dice que todo polinomio de grado n, tiene n soluciones (contando multiplicidad). En realidad el teorema esta planteado para el plano complejo, pero ¿todos los reales son complejos en el fondo no? :P
La demostración la puedes encontrar en la wikipedia o en cualquier libro de álgebra supongo.

Un saludo!

[juantv]

Re: sobre polinomio caracteristico

Physicist, ¿a cual resultado te refieres?

en realidad me interesa saber si esto es verdadero o falso :

"si el polinomio característico de una matriz es de grado n entonces la matriz es de tamaño nxn"


¿Es esto verdadero?

PD: digamos que acepto que si A es de tamaño nxn entonces el polinomio característico es de grado n , pero no se que decir del reciproco de esta afirmación.


Agradezco su orientación al respecto

- - - Actualizado - - -

Turing,

si el polinomio es de grado n, tendremos como máximo n valores propios.

¿como concluyo que A es de tamaño nxn?


Agradezco su orientación al respecto

[Physicist]

Re: sobre polinomio caracteristico

Me refería a que si tenemos un polinomio de grado n, tiene n raíces si o si.
A ver si me explico:

Con un polinomio cualquiera, puedes construir una matriz diagonal donde sus valores sean las raíces del polinomio. Esto te define una matriz cuadrada del mismo tamaño que el grado del polinomio.
El polinomio característico nos da los valores propios de una matriz cuadrada, y esta matriz tiene tantos valores propios como dimensión.

Te sirve como "pseudodemostración"?

[juantv]

Re: sobre polinomio caracteristico

Physicist, lo que dices lo "veo" valido para matrices diagonales, pero para matrices no diagonales (osea para matrices en general), ¿como lo puedo mostrar?


Agradezco su orientación al respecto

[abuelillo]

Re: sobre polinomio caracteristico

si el polinomio es de grado n, tendremos como máximo n valores propios.
¿como concluyo que A es de tamaño nxn?
Agradezco su orientación al respecto

Simplemente piensa en lo que significa polinomio caracteristico y valores propios de una matriz.

1. Una matriz nxn tiene/almacena n valores propios.
2. Un polinomio de grado n tiene n raices, es decir la ecuacion correspondiente al polinomio tiene n soluciones/valores.

Nos piden que dados n valores/numeros de una matriz, construyamos una ecuacion polinomica cuyas soluciones sean precisamente esos n numeros (polinomio caracteristico).
Una ecuacion de grado menor que n, no puede tener n soluciones. Asi que no nos vale una ecuacion de grado menor que n para guardar esa cantidad de valores.

Y lo contrario tambien es directo, por ejemplo una matriz de 2x2 no puede tener 3 valores propios, solo 2, asi que es imposible que un polinomio de grado 3 se corresponda con una matriz de grado 2x2, ya que tiene 3 soluciones y sobraria un numero que no puede ser valor propio de la matriz de 2x2 ya que no "cabe".

No creo que haga falta demostracion todo viene de las propias definiciones. Tenemos una matriz en la que por definicion caben x numeros y un polinomio en el que por definicion caben x numeros. No creo que haya que demostrar que si quiero mover los x numeros del polinomio a una matriz se necesita una matriz en la que quepan x numeros (y lo contrario igual).

[Breogan]

Re: sobre polinomio caracteristico

Hola:

Creo que tu duda se resuelve si partis de la definición de polinomio característico de una matriz A de tamaño nxn:

$\dst P^n(\sigma)=|A- \sigma I|$

donde $\sigma$ es la variable e I es la matriz identidad.

De está definición se puede ver que solo los elementos de la diagonal principal, de la matriz resultante de la resta, contienen a la variable $\sigma$, por lo cual el determinante tendrá uno y solo un termino que contendra $\sigma^n$ y saldra del producto de llos elementos de la diagonal principal:

$\dst (a_{11}-\sigma) (a_{22}-\sigma) ......(a_{nn} -\sigma)$

todos los otros monomios del determinante que contienen la variable con un exponente menor que n pueden anularse o no dependiendo de los valores de A, pero siempre existirá el termino en $\sigma^n$.

La inversa también sera cierta, un polinomio de grado n es el polinomio característico de una matriz de grado n.

Creo

s.e.u.o.

Suerte

[Turing]

Re: sobre polinomio caracteristico

Opino igual que Abuelillo y Breogan. Como decía antes, la propia definición del polinomio característico provoca que tenga grado igual a la matriz de partida. Siempre existirán los términos de la diagonal principal.

- - - Actualizado - - -

si el polinomio es de grado n, tendremos como máximo n valores propios.

¿como concluyo que A es de tamaño nxn?

Porque ese grado n aparece al multiplicar los elementos de la diagonal (sea una matriz diagonal o no, no importa), la cual cosa provoca un término que no se anula y, por lo tanto, necesariamente la matriz ha de ser nxn.