Secundaria Duda ejercicio sobre transformaciones lineales, valores y vectores propios

[juantv]

Buenas,


no he logrado proceder mucho con el siguiente ejercicio:






sea A la matriz cuyos espacios propios son :


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


y $T: P_2 \rightarrow{P_2}$ ; cuya matriz asociada en las respectivas bases usuales, es A


nota : $P_2$ es el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 2


Diga si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas


no he logrado responder satisfactoriamente en dos, así que solo pongo esas


c. $1+3x+4 x^2 \in Im T$


d. $2 + 2x \in Im T$




Mi intento :


c.

debo encontrar el v tal que $T(v) = 1 + 3x + 4 x^2$


como [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


pero como [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es un vector propio


tendre que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


luego [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


osea que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


y finalmente tendré $v = 1/3 + x + (4/3) x^2$ , de donde concluyo que $1+3x+4 x^2 \in Im T$




d.


en este tengo problemas


debo encontrar v tal que $T(v) = 2 + 2x$


intento proceder del mismo modo que en el literal b, pero me sale




[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


y tengo que como [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es vector propio


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


de donde no obtengo lo que espararia


en cambio obtengo que como [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] pertence al espacio nulo de A, entonces $v = 2+2x$ pertenece al nucleo de T.


(ademas por aparte, concluyo que T no es isomorfismo)


mas no obtengo información acerca de si pertenece o no a la imagen de T, que es lo que me preguntan








¿Como debo proceder para saber si $2+2x$ pertenece a la imagen de T (es decir ¿$2+2x \in Im T$ ?) ?








Agradezco su orientación al respecto