Cualquier número racional positivo se puede expresar en forma egipcia

[angel relativamente]

Re: Cualquier número racional positivo se puede expresar en forma egipcia

¿Por qué no probáis casos particulares?

Por ejemplo, quizá sea más sencillo ver que cualquier natural se puede expresar de esa forma.

[carroza]

Re: Cualquier número racional positivo se puede expresar en forma egipcia

Hola.

Creo que una forma de resolverlo es la siguiente:

Partimos de un número p, racional.

Calculamos la serie armónica s_n = (1 + 1/2 + 1/3 + .... + 1/n), hasta acercarnos lo mas posible a p (por defecto). Ahora nos queda una diferencia D=p-s_n. Calculamos su inversa 1/D, y nos quedamos con la parte entera por exceso m. (Puede verse que m>n+1).

Ahora tomamos la nueva serie s_m = (1 + 1/2 + ...... + 1/n + 1/m), y hacemos D'=p-s_m. Volvemos a calcular su inversa 1/D'. y nos quedamos con la parte entera por exceso m'. (Puede verse que m'>m).

Y así hasta que converja. Intuyo que esto puede hacerse en un número finito de pasos.

Un ejemplo: p= 3/7.

El primer termino de la serie armónica (1). ya se pasa. Así que hacemos la inversa (7/3), lo aproximamos por exceso y tenemos m=3.

Ahora consideramos D'=3/7-1/3= 2/21. Su inversa, por exceso, es m'=11.

Ahora tenemos D"= 3/7 - 1/3 - 1/11. Esto ya sale 1/231.

Asi que 3/7 = 1/3 + 1/11 + 1/231.




Saludos

[Rodri]

Re: Cualquier número racional positivo se puede expresar en forma egipcia

Yo me había aproximado al problema con una idea similar a la de carroza:

Sea a/b el número racional, expresado como fracción irreducible (a y b son números naturales). Supongamos que 1<a/b<0, sin pérdida de generalidad, ya que si a/b>1 tomamos c/d=a/b-1 y tratamos de demostrar la proposición para c/d, de forma que a/b = 1 + S, con S de la forma propuesta.

1) Identificamos el número natural N1 para el que $\frac{1}{N_{1}-1} \geqslant \frac{a}{b} \geqslant \frac{1}{N_{1}}$ . Si en algún $\geqslant$ se da la igualdad, ya hemos terminado. De lo contrario escribimos:

$\frac{a}{b}=\frac{1}{N_{1}}+\frac{a'}{b'}$ con $\frac{a'}{b'}$ fracción irreducible

2) Repetimos el proceso con $\frac{a'}{b'}$ y obtenemos $N_{2}$ de forma que
$\frac{a}{b}=\frac{1}{N_{1}}+\frac{1}{N_{2}}+\frac{a''}{b''}$ con $\frac{a''}{b''}$ fracción irreducible

Reiterando el proceso vamos obteniendo un racional $\frac{a^{(n}}{ b^{(n}}$ cada vez más cercano a cero:

$\frac{a}{b}=\frac{1}{N_{1}}+\frac{1}{N_{2}}+\frac{1}{N_{3}}+ ... +\frac{1}{N_{n}}+\frac{a^{(n}}{b^{(n} }$

con $\frac{a^{(n}}{b^{(n} } \to 0$ cuando $n \to \infty$

Esta sería una forma de demostrarlo basada en el análisis matemático (cálculo infinitesimal). Para que fuera válida habría que demostrar que los $N_{i}$ consecutivos no se repiten en el proceso descrito, lo que no sé cómo demostrar.

No me parece un programa de demostración muy elegante. Pienso que tiene que existir una demostración que no recurra al concepto "paso al límite", basada solo en el álgebra y los conceptos de números racionales, pero a mí no se me ocurre.

[carroza]

Re: Cualquier número racional positivo se puede expresar en forma egipcia

Hola, Rodri.

Si tomas p=2, con tu metodo sale p = 1 + 1, que no cumple que los a_i sean distintos.

Con mi metodo sale p=1+1/2+1/3 + 1/6.

Saludos

[Jose D. Escobedo]

Re: Cualquier número racional positivo se puede expresar en forma egipcia

Hola, esta forma egipcia de describir los racionales positivos no es única.

por ejemplo: $1=\dst\frac{1}{ 2}+\frac{1}{ 3}+\frac{1}{ 6}$, tambien puede ser escrita asi $1=\dst \frac{1}{2 }+\frac{1}{3 }+\frac{1}{7 }+\frac{1}{ 42}$ o asi $1=\dst \frac{1}{ 2}+\frac{1}{3 }+\frac{1}{ 8}+\frac{1}{24 }$

un esbozo de prueba puede ser esto: sean $p_o$ y $q_o$ elementos de los naturales con $q_o>p_o>0$ de otra forma, en caso contraro, se aplica la serie armónica como carroza la describe.
De $q_o>p_o >0\Rightarrow \dst \frac{q_o}{ p_o} >1$ aqui se puede encontrar un $a_o$ en los naturales tal que: $a_o>\dst \frac{q_o}{p_o }>1>0\Rightarrow 1>\dst \frac{p_o}{ q_o}-\frac{1}{a_o }>0$, de aqui podemos decir que: $\dst\frac{p_o}{q_o }-\frac{1}{a_o }=\frac{p_1}{ q_1}$ (por la propiedad de la cerradura) siguiendo el mismo procedimiento (he de decir que este procedimiento-algoritmo es descrito por carroza en este hilo y que tambien lo he visto en la wikipedia), entonces puedo probar que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] para que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] o bien $p_{n+1}\to 0$ o $q_{n+1}\to \infty$, pero como estamos hablando de numeros naturales es evidente que en algun momento $\dst p_{n+1}\to 0$ a seguirme hasta el infinito donde nunca voy acabar de calcular (it is a forever ongoing process).

Entonces, como $\dst\frac{p_{n+1}}{q_{n+1} }= \frac{a_n p_n-q_n}{a_n q_n }=0\Rightarrow$ $\dst\frac{p_n}{q_n }=\frac{1}{ a_n}$.

Luego con un poco mas de ágebra se puede probar que: $\dst\frac{p_o}{q_o }=\frac{1}{ a_o}+\frac{1}{a_1 }+...+\frac{1}{a_n }$

saludos

[cj2747]

Re: Cualquier número racional positivo se puede expresar en forma egipcia

Carroza y José D. Escobedo me han dado muy buenas ideas, hoy he trabajado con ellas y casi tengo la prueba, espero poder terminarla y pues publicarla aquí, pero por ahora iré a dormir, no sin antes agradecerles.

[carroza]

Re: Cualquier número racional positivo se puede expresar en forma egipcia

Hola.

Creo que tengo una solución al problema.

- Partimos de un número racional $p_0/q_0$. Si $p_0 \ge q_0$, le restamos términos de la serie armónica
$s(n) = 1 + 1/2 + 1/3 + ...+ 1/n$, hasta que la fracción restante $p/q = p_0/q_0 - S(n)$ cumpla que
$np < q$.

- Ahora viene el hueso del problema: Queremos demostrar que p/q puede expresarse como una suma finita de términos
$p/q = 1/a_1 + 1/a_2 + .... + 1/a_m$,
tales que los $a_i$ son distintos entre sí, y mayores que los $n$ números utilizados en la serie armónica.

Para ello, tomamos todos los divisores de q, ordenados de mayor a menor. Estos son $d_1 , ...., d_m$. Ahora, comprobamos que se cumpla, en todos los casos, que el cociente entre divisores contiguos sea menor o igual que 2:
$d_{i}/d_{i+1} \le 2$.

Si esto no se cumple, expresamos $p/q = (2p)/(2q)$, y calculamos los divisores de (2q), hasta que se cumpla la expresión anterior. Sin pérdida de generalidad, llamamos p/q a la fracción de números enteros, no necesariamente irreducible, que cumple que los divisores de q $d_1 , ...., d_m$, cumplen $d_{i+1}/d_i \le 2$.

Ahora, hacemos los cocientes $c_i, r_i$ y restos de dividir consecutivamente p entre los divisores $d_i$.

$p=d_1 c_1 + r_1$

$r_1 = d_2 c_2 + r_2$

....
$r_m = d_m c_m + r_{m+1}$.

Ahora, cada resto es inferior al divisor correspondiente. Por otro lado, como el cociente de divisores consecutivos es menor o igual que dos, el cociente (a partir del c_2), nunca puede ser mayor que 2. Sólo puede ser uno o cero.
El primer divisor $d_1=q$. Su cociente respectivo $c_1$ es cero, ya que $np < q$.
Por otro lado, el último divisor es $d_m=1$. Por tanto, el resto $r_{m+1}=0$.

Por tanto, podemos expresar,
$p=d_2 c_2 + ... + d_m c_m$,
donde $c_2 ... c_m$ son uno o cero, y $d_2 ... d_m$ son los divisores de q.

Puesto de otra manera, podemos expresar
$p=d'_1 + ... + d'_s$,
donde $d'_i$ son los divisores de q, cuyos cocientes correspondientes son uno. Obviamente, los términos cuyos cocientes son cero no contribuyen a la suma.


Por tanto, tenemos

$p/q = 1/a_1 +..... + 1/a_s$ , donde $a_i = q/d'_i$.

Como un ejemplo, tomemos la fracción 3/7. Los divisores del denominador son (7, 1). Estos no cumplen la regla
$d_i/d_{i+1}\le 2$.

Añadimos un factor 2, y expresamos la fracción como 6/14. Los divisores del denominador son (14, 7, 2, 1), que todavía no cumple la regla.

Añadimos otro factor 2, y tenemos 12/28. Los divisores son (28, 14, 7, 4, 2, 1), que ya cumple la regla.

Dividimos y hacemos restos:

$12 = 0 \cdot 28 + 0 \cdot 14 + 1 \cdot 7 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

O bien

$12 = 7 + 4 + 1$

Por tanto, tenemos

$3/7 = 12/28 = 1/7 + 1/4 + 1/28$


Saludos

[cj2747]

Re: Cualquier número racional positivo se puede expresar en forma egipcia

Un poco complicada de entender, pero me gustó, espero no haber pasado por alto algo...pero excelente.

[Estroncio38M]

Re: Cualquier número racional positivo se puede expresar en forma egipcia

$\sum_{n = 0}^\infty$

- - - Actualizado - - -

que se ha enviado solo, disculpen!

[gdonoso94]

Re: Cualquier número racional positivo se puede expresar en forma egipcia

Buenísima demostración carroza... Utilizando teoría elemental de números... Enhorabuena.