Secundaria Soluciones de una ecuación

[Alephero]

Buenas,

Tengo una pequeña duda con el siguiente ejercicio de matemáticas; dice así:
Sea la equación: x·arctg(x)-x+1=0
a) Determina razonadamente, el número de soluciones.
b) En caso de existir una solución positiva, determínala con un decimal de aproximación (explica los fundamentos teóricos)

Cómo le meto mano a esto?
He empezado definiendo la función f(x)=x·arctg(x)-x+1

En el apartado a) en intentado aplicar Bolzano para demostrar que existe al menos una solución, pero me he encontrado con el problema de que no tengo intervalo (ya que si cojo uno al tun tun, me dejo el resto, donde podria haber otras soluciones; y si hago los límites en infinito, ambos crecen, por tanto R no me vale). Además, no acabo de ver como podría aplicar después Rolle si tuviese más de una raiz.

En el b), se me ha ocurrido utilizar Bolzano, dividiendo una y otra vez el intervalo donde esté la raiz a fin de aproximarla hasta un decimal, pero no acabo de verlo claro.

Alguien podría decirme donde está el truco?

[javirk]

Re: Soluciones de una ecuación

Hola, ¿has probado hallando el mínimo? Teniendo en cuenta que los límites en infinito son positivos y la función es continua en R, si el mínimo es mayor que cero, no habrá ninguna solución, si es menor, habrá dos como mínimo. Empieza por ahí

[Rodri]

Re: Soluciones de una ecuación

Yo haría lo siguiente. En primer lugar reescribiría la ecuación de esta otra forma:

$arctg(x)=\frac{x-1}{ x}$

y ahora trataría de "visualizar" cómo es cada uno de los miembros de la ecuación $f_{1}(x)=arctg(x)$ y $f_{2}(x)=\frac{x-1}{x}$

Para ello te aconsejo que dibujes ambas funciones en un papel. Te darás cuenta de que $f_{2}(x)$ está formada por dos ramas que comparten dos asíntotas: una asíntota horizontal en $y=1$ y una asíntota vertical en $x=0$. Además la discontinuidad en x=0 es un salto de $+\infty$ a $-\infty$.

Por su parte $f_{2}(x)$ en realidad es una función multivaluada. Si nos limitamos a la rama que pasa por (0,0) yo veo que $f_{1}(x)$ y $f_{2}(x)$ no se cortan y no hay ninguna solución. Esto es fácil de demostrar.

Si consideramos todas las ramas posibles de $f_{2}(x)$ (que son curvas paralelas distanciadas un intervalo $\pi$ verticalmente) entonces me parece claro que hay infinitas soluciones, ya que todas las ramas de $f_{2}(x)$ cortan a una de las dos ramas de $f_{1}(x)$

[Alephero]

Re: Soluciones de una ecuación

Ups, fallo mio, no es x·arctg(x)-x+1=0, sino x·arctg(x)-x-1=0. A ver, que esto se está poniendo muy raro. He intentado esas dos opciones y he llegado a una tercera:
sea f(x)=arctg(x) y g(x)=(x+1)/x. f es continua y derivable en todo R, g es continua en R-{0} y derivable en R-{0}; miramos donde se cortan a la izquierda de x=0 y a la derecha.

Por la izquierda: a medida que x->-inf, f->-pi/2 y g->1; cuando x->0, f->0 y g->-inf. Además, f es continua i derivable en todo R, por tanto en (-inf,0] i (-inf,0) respectivamente; i g es continua en (-inf,a], con a->0, i derivable en (-inf, 0); aplicando el Teorema de los Valores Intermedios existe al menos un punto donde f y g coinciden. Y por la derecha aplicamos algo similar.

Este razonamiento es válido?

[Rodri]

Re: Soluciones de una ecuación

Ups, fallo mio, no es x·arctg(x)-x+1=0, sino x·arctg(x)-x-1=0.

Con esa corrección a mí me sale que la función $g(x)=\frac{x+1}{x}$ tiene una asíntota horizontal en y=1 y una asíntota vertical en x=0, de forma que la discontinuidad en x=0 es un salto de $-\infty$ a $+\infty$. Teniendo esto en cuenta (insisto en que es muy conveniente dibujar las dos funciones) se tiene que:


1) En el intervalo $(-\infty,0)$ la función g(x) es monótona decreciente desde $y=1$ hasta $y=-\infty$. En ese intervalo la función $f(x)=arctg(x)$ (su rama principal, que pasa por el origen) es monótonamente creciente desde $y=-\frac{\pi}{2}$ hasta $y=0$. Por tanto es claro que f(x) y g(s) se cortan en un punto en este intervalo.

2) En el intervalo $(0,+\infty)$ la función g(x) es monótona decreciente desde $y=+\infty$ hasta $y=1$. En este intervalo la función f(x) es monótonamente creciente desde $y=0$ hasta $y=\frac{\pi}{2}$.
Por tanto es claro que f(x) y g(x) se cortan en un punto en este intervalo.

Yo creo que teniendo en cuenta 1) y 2) se demuestra que la ecuación tiene dos soluciones (si restringimos el valor de la arctg a $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}$)). No creo que sea necesario invocar teoremas fundamentales del Análisis como el de Rolle o el del valor medio, sino que yo diría que basta con estas dos observaciones sobre el comportamiento de las dos funciones demostrando que se cortan.

[Alephero]

Re: Soluciones de una ecuación

Vale, y el tema de aproximar la raíz como lo hago? Bolzano y voy dividiendo el intervalo en mitades?

[Jose D. Escobedo]

Re: Soluciones de una ecuación

Hola, Alephero.

Tiene dos raices, una positiva entre 3 y 4, y una negativa que esta entre -1 y 0, define el punto fijo asi $x_{n+1}=\dst\frac{1}{arctan(x_n)-1 }$, trata tomando puntos iniciales en las cercanías de esos intervalos, creo que lograras las aproximaciones que estas buscando. De esta forma converge mas rapido la raiz negativa.
Si lo tratas de esta otra manera: $x_{n+1}=\dst\frac{x_n+1}{ arctan(x_n)}$ la raiz positiva converge mas rapido, pero la raiz negativa no converge del todo, me encontre con un ciclo y no converge.

saludos