Otras carreras Convergencia de una serie divergente.

[Mossy]

Hola,

estaba viendo vídeos de MinutePhysics y me encontré con esto. Se trata de la serie $\sum_{n=0}^\infty 2^n$, en la cual en este vídeo hace parecer que converge a -1. Sé que no puede ser, porque si una serie es convergente entonces $\lim_{n \to \infty} \ S_n = 0$ , pero si sumásemos todas las potencias de 2 claramente nos iríamos al infinito.

Os dejo el vídeo, a ver si alguien encuentra el fallo

[Turing]

Re: Convergencia de una serie divergente.

Hola Mossy,

como tu bien dices, la serie va hasta infinito. Donde (2-1)(1+2+4+8+16...+n) donde $\dst n=\infty$. Por lo que no converge, partes de algo falso.

[oscarmuinhos]

Re: Convergencia de una serie divergente.

Hola Mossy
El vídeo que has puesto lo que hace es presentar un juego matemático en el que hay que descubrir la trampa o razonamiento matemático falso que utiliza.
La "trampa" que hace es cancelar una serie que tiende a +$\infty$ con otra que tiende a $- \infty$. Es decir está realizando la operación $\infty -\infty$ que es una indeterminación y el vídeo hace ver que es cero.
Yo diría que esta es la trampa.

[angel relativamente]

Re: Convergencia de una serie divergente.

Yo lo que veo es que directamente el razonamiento falso que usa es una operación que no está permitida en series numéricas. Restar dos series no es tan sencillo como restar término a término (no hay un número finito de términos, y no sabes controlarlos cuando estos se hacen muy grandes, en caso de que diverja). En cualquier caso aquí lo que podríamos hacer es considerar dos sumas parciales y hacer la diferencia: $S_N = 2(S_N ) - S_N = 2+4+ \cdots + 2^{N+1}- (1 + 2 + 4 \cdots 2^N)= 2^{N+1} - 1 \to \infty$.

De algún modo ese sería el razonamiento correcto para probar la divergencia.

Un saludo,