1r ciclo Ayuda urgente con esta integración

[tirantloblanc]

Veréis, tengo una función, llamémosla x(t). Esta función representa una señal exponencial y se quiere saber si es una señal de energía. Para ello, debo integrar entre ambos infinitos la función al cuadrado entre valor absoluto.
La función es esta:

Definimos la integral:

Debido a la simetría de la función, me es igual integrar desde menos infinito a infinito que multiplicar por 2 la integración de cero a infinito.


Si la hago a bolígrafo, separo las integrales, puesto que de otra manera me da 0. El problema viene cuando esto:

no me da el mismo resultado. Al integrar cada función, como siempre va a tener valor absoluto, me da esto:
Yo sumo la integral desde menos infinito a 0 y me da -1/4, y la integral desde 0 a infinito me da 1/4.

En la primera integral, al sustituir por -infinito, da 0 el límite, y al sustituir por el 0 da -1/4, cuando en la integral de 0 a infinito da 1/4.

¿Qué hago mal? ¿Porqué la parte izquierda de la integral me da negativo? ¿Se debería mantener el valor absoluto de la función integrada hasta sustituir por el valor de cada límite de integración?

Es esa mi duda, porque viendo la imagen de la función entiendo cómo hacerlo multiplicando por dos la integral de 0 a infinito positivo, pero el resultado matemático no me sale.
Saludos

[oscarmuinhos]

Re: Ayuda urgente con esta integración

Pero pasa que cuando derivas

$\dst f(x) = -\frac{1}{4}{e}^{-4\left\vert{} x\right\vert{} }$ no obtienes la función que integraste??

Por lo tanto....

[tirantloblanc]

Re: Ayuda urgente con esta integración

Pero pasa que cuando derivas

$\dst f(x) = -\frac{1}{4}{e}^{-4\left\vert{} x\right\vert{} }$ no obtienes la función que integraste??

Por lo tanto....

Al derivar la simetría par deja de serlo para ser simetría impar....Y la función no conserva el valor absoluto.

Por tanto, ¿debo cambiar el signo de la integral de - infinito a 0? Que extraño, la fórmula de E no dice nada de eso....

¿Porqué con mathematica las dos integrales de menos infinito a 0 y 0 a infinito sí salen positivas y dan 1/2?

Hay 2 opciones:
-Yo no lo sé hacer de manera manual mientras que con mathematica o interpretando la gráfica(multiplicando por 2 la integral de 0 a infinito) sí.
-Las integrales entre infinitos son objeto de problemas.

[oscarmuinhos]

Re: Ayuda urgente con esta integración

La función $\dst f(x) = {e}^{-2\left\vert{} x\right\vert{}}$ siempre es positiva. No es así?

Por lo tanto:
${e}^{-2\left\vert{} x\right\vert{}} = {e}^{-2x}$ si x>0 y

${e}^{-2\left\vert{} x\right\vert{}} = {e}^{-2(-x) } = {e}^{2x }$ si x < 0


La función $\dst \left\vert{}{e}^{-2\left\vert{} x\right\vert{}} \right\vert{}^2$ por la misma razón será de la misma manera


$\dst \left\vert{}{e}^{-2\left\vert{} x\right\vert{}} \right\vert{}^2 = \dst {e}^{-4\left\vert{} x\right\vert{}}$

${e}^{-4\left\vert{} x\right\vert{}} = {e}^{-4x}$ si x>0 y

${e}^{-4\left\vert{} x\right\vert{}} = {e}^{-4(-x) } = {e}^{4x }$ si x < 0

Y hacemos la integración (suprimo límites para el cálculo de las integrales impropias):

$\dst {\int}_{-\infty }^0 {e}^{4x} = \left[\frac{1}{4} {e}^{4x}\right]_{-\infty}^0 = \frac{1}{4 }({e}^0 -e^{-\infty}) =\frac{1}{4}$


$\dst {\int}_0^{\infty } {e}^{-4x} = \left[-\frac{1}{4} {e}^{-4x}\right]_0^\infty = -\frac{1}{4 }({e}^{-\infty}-e^0) =\frac{1}{4}$

Y ahora: $\dst \frac{1}{4 } + \frac{1}{4 } = \frac{1}{2 }$, que efectivamente es $\dst 2.\frac{1}{4 }$

No era la integración como supuse al principio, sino los límites de la integración.