Secundaria Sobre division algebraica

[eduardo2384]

Saludos amigos, traigo un ejercicio el cual no le encuentro lógica, dice así:

===================================================================

Al dividir $x^{8^8}-8^{8^8}$ entre $x^{8}-8^{8}$ se obtiene un polinomio $P(x)$ de cociente.

Calcular $P({8})$





Respuesta: $8^{8^8-1}$
===================================================================

Por el algoritmo de la división: $x^{8^8}-8^{8^8}=(x^{8}-8^{8})P(x)+r(x)$ y haciendo $x=8$ llego a que

$-r(x)=0.P({8})$

lo cual me parece ilógico. ¿Está bien planteado éste ejercicio?

Gracias

[Sheldoniano]

Re: Sobre division algebraica

Por qué te parece ilógico? x=8 anula tanto dividendo como divisor

[rarar]

Re: Sobre division algebraica

Saludos amigos, traigo un ejercicio el cual no le encuentro lógica, dice así:

===================================================================

Al dividir $x^{8^8}-8^{8^8}$ entre $x^{8}-8^{8}$ se obtiene un polinomio $P(x)$ de cociente.

Calcular $P({8})$





Respuesta: $8^{8^8-1}$
===================================================================

Por el algoritmo de la división: $x^{8^8}-8^{8^8}=(x^{8}-8^{8})P(x)+r(x)$ y haciendo $x=8$ llego a que

$-r(x)=0.P({8})$

lo cual me parece ilógico. ¿Está bien planteado éste ejercicio?

Gracias

Hola.

Algo no me acaba de "cuadrar":

Si hacemos:

$a=x^8 \ y \ b=8^8$.(*)

Tendremos:

$a^8-b^8=(a^4+b^4)(a^4-b^4)=(a^4+b^4)(a^2+b^2)(a+b)(a-b)$

$P()=\dfrac{a^8-b^8}{a-b}=(a^4+b^4)(a^2+b^2)(a+b)$

Si hacemos: $a=b$:

$P()=2a^42a^22a$

Sustituimos (*):

$P(8)=8 \ 8^{8^4} \ 8^{8^2} \ 8^8=8^{8^4+8^2+8+1}$

Un cordial saludo.

- - - Actualizado - - -

Hola.

Perdón. He cometido una "burrada", al responder rápido.

He considerado, en la respuesta:

$(x^8)^8-(8^8)^8$

Y no es correcto.

Un cordial saludo.

[carroza]

Re: Sobre division algebraica

Hola.

En general, utiliza L´Hopital.

P(x) = F(x)/G(x)

Cuando x tiende a 8, tanto F(x) como G(x) se anulan. Por tanto,

P(8) = F'(8)/G'(8).

Saludos

[rarar]

Re: Sobre division algebraica

Hola.

En general, utiliza L´Hopital.

P(x) = F(x)/G(x)

Cuando x tiende a 8, tanto F(x) como G(x) se anulan. Por tanto,

P(8) = F'(8)/G'(8).

Saludos

Mucho mejor, porque algrebráicamente es ... Uff.

[FONT=Arial]Sabiendo que:[/FONT]

[FONT=Arial]$8^{8^8}=8^{16777216}$
[/FONT]
Expresamos:

$(x^{8388608}+8^{8388608})(x^{4194304}+8^{4194304})(x^{2097152}+8^{2097152})*$

[FONT=Arial]$*(x^{1048576}+8^{1048576})(x^{524288}+8^{524288})(x^{262144}+8^{262144})*$[/FONT]

[FONT=Arial]$*(x^{131072}+8^{131072})(x^{65536}+8^{65536})(x^{32768}+8^{32768})*$[/FONT]

[FONT=Arial]$*(x^{16384}+8^{16384})(x^{8192}+8^{8192})(x^{4096}+8^{4096})(x^{2048}+8^{2048})*$[/FONT]

[FONT=Arial]$*(x^{1024}+8^{1024})(x^{512}+8^{512})(x{256}+8^{256})(x^{128}+8^{128})(x^{64}+8^{64})*$[/FONT]

[FONT=Arial]$*(x^{32}+8^{32})(x^{16}+8^{16})(x^8+8^8)(x^8-8^8)=x^{8^8}-8^{8^8}$[/FONT]

[FONT=Arial]Entonces:[/FONT]

[FONT=Arial]$\dfrac{ x^{8^8}-8^{8^8}}{x^8-8^8}=P(x)$[/FONT]

[FONT=Arial]$P(8)=2^{21}8^{8388608}8^{4194304}8^{2097152}8^{1048576}*$[/FONT]

[FONT=Arial]$* 8^{524288}8^{262144}8^{131072}8^{65536}8^{32768}8^{16384}8^{8192}8^{4096}8^{2048}*$[/FONT]

[FONT=Arial]$*8^{1024}8^{512}8^{256}8^{128}8^{64}8^{32}8^{16}8^8$[/FONT]


[FONT=Arial]Y, por tanto:[/FONT]

[FONT=Arial]$P(8)=8^{7+8+16+32+ \cdots +8388608}=8^{1677215}=\dfrac{8^{16777216}}{8}=\dfrac{8^{8^8}}{8}=8^{8^8-1}$[/FONT]

[FONT=Arial]Un cordial saludo.[/FONT]

[eduardo2384]

Re: Sobre division algebraica

Waoooo rarar! Demasiado extenso!!... Indagando encontré un método más sencillo de verlo.

Si formamos la división: $\dfrac{x^{8^8}-8^{8^8}}{x^{8}-8^{8}}=P(x)$ podemos ver rápidamente que es un COCIENTE NOTABLE (basta con calcular el número de términos).

número de términos$=n=\dfrac{8^8}{8}=8^7$..............................(http://es.wikipedia.org/wiki/Cocientes_notables)

Si calculamos un término cualquiera de éste cociente notable, tendríamos que:

$t_k=\left(x^8\right)^{n-k}\left(8^8\right)^{k-1}=x^{8n-8k}8^{8k-8}$ y cuando hago $x=8$, tenemos que:

$t_k=8^{8n-8k}8^{8k-8}=8^{8n-8}$ ....ésto nos hace ver que la división original (cuando $x$ vale 8), no depende de $k$.

Ésto significa entonces que tendremos:$P(8)=\underbrace{t_k+t_k+t_k+\ldots+t_k}_{8^7 veces}=8^7.t_k=8^7.8^{8n-8}$ y como ya tenemos el valor de $n$, entonces:

$P(8)=8^7.8^{8(8^7)-8}\,\,\,\,\to\,\,\,\,\,P(8)=8^{8^8-1}$

Saludos