Otras carreras Problema lioso de calculo por el tipo de coordenadas

[juan lopez]

Aqui os dejo un problema lioso, ya que en coordenadas esfericas seria muy facil . Usa coordenadas cilindricas para calcular el volumen de un casquete esferico de altura h en una esfera de radio R

[oscarmuinhos]

Re: Problema lioso de calculo por el tipo de coordenadas

$\dst V =\int_V dV = \iiint r.d\phi dr.dz$

Empezamos integrando la variable $\phi$ desde $\phi = 0$ hasta $\phi =2\pi$

$\dst V = 2\pi \iint r.dr.dz$

(Corrijo el error señalado por juan lopez en el siguiente mensaje)

integramos a continuación r desde $r = 0$ hasta $r(z) = \sqrt{R^2 - z^2}$

$\dst V = \pi\int \left[ R^2 - z^2\right]dz$

Y se integra, finalmente, la variable $z$ desde $R-h$ hasta $R$:

$\dst V = \pi.R^2.h - \frac{1}{3}\pi.[R^3 -(R-h)^3]$

Y (si está bien hecho) no es que sea tampoco más difícil que en esféricas.

[juan lopez]

Re: Problema lioso de calculo por el tipo de coordenadas

Hola Óscar. A mi en coordenadas esféricas me da Pi/3 h^2 (3R-h) y tendría que dar igual. No entiendo porque en el límite de integración de R metes z. Para mi R variará entre 0 y raíz de 2Rh-h^2

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Hola Óscar. A mi en coordenadas esféricas me da Pi/3 h^2 (3R-h) y tendría que dar igual. No entiendo porque en el límite de integración de r metes z. Para mi r variará entre 0 y raíz de 2Rh-h^2

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Perdón en la primera respuesta me confundí con las r

[oscarmuinhos]

Re: Problema lioso de calculo por el tipo de coordenadas

Tienes razón en parte.
Mi problema fue que en el medio del desarrollo cambié la referencia de esa variable $z$. al empezar la puse en la base del casquete y después la cambié al centro de la esfera.
Ahora corrijo. Gracias

De todas formas el límite de integración de $r$ si se integra antes que z tiene que depender de $z$

Hola de nuevo.¿como integraste tú en esféricas? Yo ahora obtengo el mismo resultado en esféricas que en cilíndricas y no me da el mismo resultado que a tí.
Revisa tu cálculo.

Yo en esféricas hice primero el volumen de un "cono de base esférica" que me da $\dst \frac{2}{3 }\pi.R^2.h$ y le resto el volumen de un cono de base circular $\dst \frac{1}{3 }\pi. [R^2- (R-h)^2].(R-h)$

[juan lopez]

Re: Problema lioso de calculo por el tipo de coordenadas

Hola Oscar:tu resultado final esta bien , si lo cocinas un poco llegas a mi formula final
Haciendo operaciones en el sustraendo y reduciendo términos semejantes PASO a PASO:

Concluimos escribiendo el volumen del casquete esférico:

Esta fórmula se suele presentar también:

Hemos multiplicado y dividido por 3 al primer término para poder sacar factor común a


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Hola Oscar:tu formula final después de cocinarla un poco da mi formula
Haciendo operaciones en el sustraendo y reduciendo términos semejantes PASO a PASO:

Concluimos escribiendo el volumen del casquete esférico:

Esta fórmula se suele presentar también:

Hemos multiplicado y dividido por 3 al primer término para poder sacar factor común a


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Gracias Oscar pero en tu desarrollo sigo sin saber de donde sacas
Es de la ecuación de la esfera ?porque para mi los limites de r son raíz de 2Rh-h^2 y 0 ya que la proyección es una circunferencia con ese radio

[oscarmuinhos]

Re: Problema lioso de calculo por el tipo de coordenadas

Gracias Oscar pero en tu desarrollo sigo sin saber de donde sacas
Es de la ecuación de la esfera ?porque para mi los limites de r son raíz de 2Rh-h^2 y 0 ya que la proyección es una circunferencia con ese radio

Así lo hice yo también, pero lo dejé "sin cocinar" para poder comparar directamente los resultados que salen de la integración (y no los del cocinado posterior)....
En cuando a la explicación de ese $\dst r(z) = \sqrt{R^2-z^2}$...?

La diferencia entre yo y tú en cuanto a esos límites de la integración está en que tú integras antes la z que la r y yo al revés: antes la r que la z.

Yo (como te explicaba en mensajes anteriores) he integrado antes la $r$, y por eso los límites de $r$ están entre $r=0$ y $\dst r(z) = \sqrt{R^2-z^2}$ y los límites de $z$ al final entre $z=0$ y $z=h$. (donde $R$ es el radio de la esfera y $z$ la coordenada cilíndrica con el origen en el centro de la esfera).
Tú, sin embargo, integras antes la $z$ entre $z = R-h$ y $\dst z(r) = \sqrt{R^2-r^2}$...? integrando al final la $r$ entre $r= 0$ y $\dst r = \sqrt{R^2 -(R-h)^2}= \sqrt{2Rh-h^2}$