1r ciclo Matrices cambio de base

[jssln]

creo que me he liado con este ejercio, en primer lugar he sacado los tres vectores de c= <(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)> pero no tengo claro que son esos porque los resultados de las matrices cambio de bases son los mismo que los vectores que saco de B, os dejo el problema por si podeis ayudarme.

Sea $E$ un espacio vectorial y $C$ = {e₁,e₂,e₃} una base. Consideremos el conjunto $B$ = { e₁+e₃, -e₂-e₃, e₁+e₂+e_3}.

a) Demuestre que $B$ es una base y halla las matrices de cambio de base de $C$ a $B$ y de $B$ a $C$.
b) Halla las coordenadas del vector 2e₁-e₂+e₃ en la base $B$ usando las matrices del apartado anterior.

[oscarmuinhos]

Re: Matrices cambio de base

Para comprobar que B es una base de E (dimensión 3), solo habrá que ver si esos tres vectores son linealmente independientes:
$\lambda_1. (e_1 + e_3) + \lambda_2 (-e_2 -e_3) + \lambda_3 (e_1 + e_2 + e_3)=0 \Rightarrow \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0$


La matriz cambio de base entre las base $C \to B$, es aquella que al aplicarla a la base $C$ se obtiene la base $B$:

$A.C = B$

No sé escribir matrices en LaTex pero si [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] son los coeficientes de la matriz cambio de base, al aplicar la matriz A sobre C y tener en cuenta la ecuación anterior se tendrán las siguientes ecuaciones:
$a_{11}.e_1 + a_{12}.e_2 + a_{13}.e_3 = e_1 + e_3$

$a_{21}.e_1 + a_{22}.e_2 + a_{23}.e_3 = -e_2 - e_3$

$a_{31}.e_1 + a_{32}.e_2 + a_{33}.e_3 = e_1 + e_2 + e_3$

De las que, teniendo en cuenta que $e_1$, $e_2$ y $e_3$ son linealmente independientes, se obtiene:
$a_{11}=1$; $a_{12}= 0$ y $a_{13}=1$
$a_{21}=0$; $a_{22}= -1$ y $a_{23}=-1$
$a_{31}=1$; $a_{32}= 1$ y $a_{33}=1$

La matriz cambio de base inversa será $A^{-1}$

saludos