Otras carreras Verdadero o falso (análisis matemático)

[gager96]

Buenos días a todos, tengo dudas respecto a algunos enunciados cuya veracidad/falsedad no logro determinar. Les agradecería que, si pueden, justifiquen sus respuestas al menos de forma acotada.

Si F(x) < 0 y creciente, y además G(x) es decreciente, entonces la función h(x) = F^2 (x) + G(x) es decreciente.

Si |F(x)|≤ x^2 + x para todo x perteneciente a (0,1), entonces lim. de x tendiendo a 0 por derecha de (F(x) sen [1/(x^2 + x)]) = 0.

Si F(x) y G(x) son funciones sobreyectivas, entonces la función h(x) = F(x) + G(x) es sobreyectiva.

Espero que puedan ayudarme. Desde ya muchas gracias. Saludos.

[kyubirr]

Re: Verdadero o falso (análisis matemático)

yo creo que las 2 primeras son verdad, la ultima no se me ocurre ahora mismo como resolverlo
1.- es decreciente, solo tienes q derivar h(x) y ver que es negativo por la informacion que te habian dado
2.- va a cero porque el sen da valores entre -1 y 1 aunq no este bien definido cual da y como F(x) va a cero pues la multiplicacion lo hace
3.- si se me ocurre, editare y te lo pongo

[Castelao]

Re: Verdadero o falso (análisis matemático)

1) Es decreciente. También puedes verlo así: si una función $f(x)$ es decreciente, entonces si $a<b$ se tiene que $f(a)>f(b)$, esto es $f(b)-f(a)<0$. Si es creciente se tiene lo contrario. Ahora hagamos $h(b)-h(a)=F(b)^2+g(b)-F(a)^2-g(a)=F(b)^2-F(a)^2+g(b)-g(a)$. El término $g(b)-g(a)$ es negativo pues $g(x)$ es decreciente. Y con el otro término podemos hacer $F(b)^2-F(a)^2=[F(b)-F(a)]*[F(b)+F(a)]$. Como ves, $F(b)+F(a)$ es negativo pues $F(x)<0$ $\forall x$, y el término $F(b)-F(a)$ es positivo porque la función es creciente, luego el producto $[F(b)-F(a)]*[F(b)+F(a)]$ es negativo. Es decir, $h(b)-h(a)=F(b)^2+g(b)-F(a)^2-g(a)=F(b)^2-F(a)^2+g(b)-g(a)$ es negativo, y la función es decreciente.

2)Efectivamente, el segundo límite es 0, pues es el producto de una función acotada en el intervalo dado, tendiendo a cero, $F(x)$ por una oscilante acotada entre (-1,1) para todo $x$.
Es decir, tendrías $\lim_{x\to 0} F(x)sin(\frac{1}{x^2+x})=0*Acotada=0$

3) La respuesta es sí. Si tienes dos funciones $f: X_1\to Y_1$ y $g: X_2\to Y_2$ sobreyectivas significa que su conjunto imagen llena el conjunto de llegada. Por tanto, su suma también lo hace, pues cada elemento del conjunto de llegada se corresponde con al menos un punto del dominio de las funciones, que en este caso es la unión de $X_1$ con $X_2$.

Corrígeme si me equivoco que con estas cosas a veces se me va la pinza.

Saludos.