1r ciclo Problema números complejos

[azerbayan]

Buenas, a ver si me podeis ayudar:
Determinar los valores para los cuales w=exp(z³) está contenido dentro de la circunferencia de radio 1 y centrada en (0,0).
Lo he intentado pero llego a una expresión rara y no se seguir.
Un saludo y gracias.

[Marce_]

Re: Problema números complejos

Hola!.


Lo que se busca es:

$$|w|=|e^{z^3}|=1$$

Podemos escribir a z como $\dst z= x +iy$. Desarrollando el cubo:

$$|w|= \overbrace{\left|e^{(x^3 - 3xy^2)}\right|}^{>0 \forall x, y \in \mathbb{R}} \underbrace{\left|e^{i(3x^{2}y - y^2)}\right|}_{=1 \forall x, y \in \mathbb{R}\,\, \text{por Euler}}=1$$

Entonces:

$$e^{(x^3 - 3xy^2)}=1 \Leftrightarrow x^{3}-3xy^{2}= 0 \Leftrightarrow x(x^{2}-3y^{2})=0$$

Resolviendo para x:

$$x=0 \vee |x|=\sqrt{3}|y| \Rightarrow \boxed{x=0 \vee x=\sqrt{3}y \vee x=-\sqrt{3}y \quad, \quad \forall y \in \mathbb{R}}$$

Un abrazo!.-

[azerbayan]

Re: Problema números complejos

Muy bién, gracias, un saludo.