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Hola a todo el mundo!
Buscando soluciones para encontrar puntos de cruce entre funciones, encontré una propiedad curiosa que al parecer cumplen ciertos tipos de ecuación.
El tema empezó con una simple ecuación:
Si bien está claro que existe un único punto de cruce entre y , no hallé ninguna solución analítica. Incluso el Wofram Mathematica me dice que el sistema no puede hallar solución con los métodos de “Solve” y “NSolve.”
Con mis pobres métodos de aproximación numérica llegué al resultado de pero no me quedé satisfecho con “forzar” resultados para hallar una aproximación. Entonces es cuando me di cuenta de una cosa casi trivial, pero que implicaba unas propiedades curiosas y generales para al menos un gran conjunto de funciones:
Se trata precisamente de la forma general
Que nadie confunda esto con una definición de y son dos funciones distintas de que se igualan para hallar los puntos de corte entre ellas.
La primera propiedad interesante es que la función inversa de sobre también pasa por las mismas soluciones
La segunda propiedad es el hecho de que al tener la variable sola en un lado, podemos poner la función dentro de ella misma manteniendo las mismas soluciones
Lo sorprendente es que en la iteración de la función hasta el infinito, ésta converge a una función que solo contiene las soluciones para toda x que no haya divergido al infinito, es decir: para toda x dentro del dominio de la función “final”. Por ejemplo:
Para
Para
El único inconveniente es que para las funciones que al iterarlas tienen partes del dominio que divergen al infinito, no se me ocurre como “detectar” que partes del dominio divergen y cuales no. Ahora bien, todas las funciones que crucen a la función por un solo punto y que al iterarlas conserven su dominio, resultan a una función con un solo valor constante para toda que tiene el valor de la solución a la ecuación (como en los dos ejemplos de arriba).
Para generalizar a ecuaciones de cualquier par de funciones, siempre se puede aislar la x en una de ellas aplicando la función inversa de una sobre toda la igualdad y llegar a la misma forma general
Esta propiedad parece cumplirse siempre que se forme un sistema compatible. Si es una recta paralela a (como ), entonces y como es obvio, no hay solución.
También existen al menos dos excepciones más para las funciones y ya que sus iteraciones sobre si mismas son periódicas. Y si bien todas sus iteraciones conservan las soluciones, dan una indeterminación oscilante al llevarlas al infinito y no converje a una función con solo las soluciones.
Aunque no lo he probado muy exhaustivamente, las soluciones complejas también parecen cumplir esa propiedad. De hecho y como suele ocurrir, si se cumple para el cuerpo real, no hay motivos para pensar que no lo cumplan los complejos.
En definitiva y lo más importante, es que existe un sinfín de funciones para las que la ecuación no tiene solución analítica (especialmente para funciones de naturaleza exponencial) y obtener un método general de aproximación numérica a las soluciones, es por lo menos tentador.
Bueno, echado el rollo ahora vienen mis dudas:
Como sé que no soy ningún lumbreras, imagino que esto ya estará descrito en alguna parte bajo algún nombre impronunciable.
¿Qué teorema, método o lo que sea, describe estas mismas propiedades?
¿Si tenemos en cuenta que esto no puede aplicarse a todas las funciones y hay un conjunto de ellas en las que sí se puede, todas las funciones que cumplen pertenecen a algún conjunto de funciones especial y/o conocido?
Como cosa menos importante, normalmente para la notación de iteraciones de funciones se usa algo tipo
¿Existe alguna forma de notación compacta para referirse explícitamente a la iteración infinita de una función como la mencionada?
En fin, espero no haberos causado ningún gran dolor de cabeza con mi parrafada y gracias por vuestro tiempo.
Buscando soluciones para encontrar puntos de cruce entre funciones, encontré una propiedad curiosa que al parecer cumplen ciertos tipos de ecuación.
El tema empezó con una simple ecuación:
Si bien está claro que existe un único punto de cruce entre y , no hallé ninguna solución analítica. Incluso el Wofram Mathematica me dice que el sistema no puede hallar solución con los métodos de “Solve” y “NSolve.”
Con mis pobres métodos de aproximación numérica llegué al resultado de pero no me quedé satisfecho con “forzar” resultados para hallar una aproximación. Entonces es cuando me di cuenta de una cosa casi trivial, pero que implicaba unas propiedades curiosas y generales para al menos un gran conjunto de funciones:
Se trata precisamente de la forma general
Que nadie confunda esto con una definición de y son dos funciones distintas de que se igualan para hallar los puntos de corte entre ellas.
La primera propiedad interesante es que la función inversa de sobre también pasa por las mismas soluciones
La segunda propiedad es el hecho de que al tener la variable sola en un lado, podemos poner la función dentro de ella misma manteniendo las mismas soluciones
Lo sorprendente es que en la iteración de la función hasta el infinito, ésta converge a una función que solo contiene las soluciones para toda x que no haya divergido al infinito, es decir: para toda x dentro del dominio de la función “final”. Por ejemplo:
Para
Para
El único inconveniente es que para las funciones que al iterarlas tienen partes del dominio que divergen al infinito, no se me ocurre como “detectar” que partes del dominio divergen y cuales no. Ahora bien, todas las funciones que crucen a la función por un solo punto y que al iterarlas conserven su dominio, resultan a una función con un solo valor constante para toda que tiene el valor de la solución a la ecuación (como en los dos ejemplos de arriba).
Para generalizar a ecuaciones de cualquier par de funciones, siempre se puede aislar la x en una de ellas aplicando la función inversa de una sobre toda la igualdad y llegar a la misma forma general
Esta propiedad parece cumplirse siempre que se forme un sistema compatible. Si es una recta paralela a (como ), entonces y como es obvio, no hay solución.
También existen al menos dos excepciones más para las funciones y ya que sus iteraciones sobre si mismas son periódicas. Y si bien todas sus iteraciones conservan las soluciones, dan una indeterminación oscilante al llevarlas al infinito y no converje a una función con solo las soluciones.
Aunque no lo he probado muy exhaustivamente, las soluciones complejas también parecen cumplir esa propiedad. De hecho y como suele ocurrir, si se cumple para el cuerpo real, no hay motivos para pensar que no lo cumplan los complejos.
En definitiva y lo más importante, es que existe un sinfín de funciones para las que la ecuación no tiene solución analítica (especialmente para funciones de naturaleza exponencial) y obtener un método general de aproximación numérica a las soluciones, es por lo menos tentador.
Bueno, echado el rollo ahora vienen mis dudas:
Como sé que no soy ningún lumbreras, imagino que esto ya estará descrito en alguna parte bajo algún nombre impronunciable.
¿Qué teorema, método o lo que sea, describe estas mismas propiedades?
¿Si tenemos en cuenta que esto no puede aplicarse a todas las funciones y hay un conjunto de ellas en las que sí se puede, todas las funciones que cumplen pertenecen a algún conjunto de funciones especial y/o conocido?
Como cosa menos importante, normalmente para la notación de iteraciones de funciones se usa algo tipo
¿Existe alguna forma de notación compacta para referirse explícitamente a la iteración infinita de una función como la mencionada?
En fin, espero no haberos causado ningún gran dolor de cabeza con mi parrafada y gracias por vuestro tiempo.
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