1r ciclo Demostración funciones periodicas

[Eulerfisico]

Hola, quisiera saber si me pueden dar una pequeña ayuda con este ejercicio, intenté hacer algún par de sustituciones pero no llegue a nada, sea $f(t)$ una función T-periódica, es decir, $f(t+T)=f(t)$

Me piden probar que para cualquier $a \epsilon R$ se cumple que:


$\int_{-T/2}^{T/2} \!\! f(t) \dd t=\int_{a}^{a+T} \!\! f(t) \dd t$

[Umbopa]

Re: Demostración funciones periodicas

$\int_{0}^{a} f(t) dt = \int_{0}^{a} f(t + T) dt = \int_{T}^{a + T} f(t) dt = \int_{0}^{a + T} f(t) dt - \int_{0}^{T} f(t) dt$

Y por lo tanto

$\int_{0}^{a} f(t) dt = \int_{0}^{a + T} f(t) dt - \int_{0}^{T} f(t) dt$

de donde

$\int_{0}^{T} f(t) dt = \int_{a}^{a + T} f(t) dt$

y ya esta demostrado. Ya que como a es arbritrario, escogiendo $a = -T/2$

$\int_{0}^{T} f(t) dt = \int_{a}^{a + T} f(t) dt = \int_{-T/2}^{T/2} f(t) dt$

[PedroAAI]

Re: Demostración funciones periodicas

Atrode, tengo una pequeña duda.
Dado que $a \in R$ no es inmediato cogiendo $a = -T/2$ que $\int_a^{a+T} f(t) dt= \int_{-T/2}^{T/2} f(t) dt$, que era lo que se pedía demonstrar?

Un saludo

[Umbopa]

Re: Demostración funciones periodicas

Atrode, tengo una pequeña duda.
Dado que $a \in R$ no es inmediato cogiendo $a = -T/2$ que $\int_a^{a+T} f(t) dt= \int_{-T/2}^{T/2} f(t) dt$, que era lo que se pedía demonstrar?

Un saludo

Sí que es inmediato

$\int_{0}^{T} f(t) dt = \int_{a}^{a+T} f(t) dt$

y si escogemos $a = -T/2$, tenemos

$\int_{0}^{T} f(t) dt = \int_{-T/2}^{T/2} f(t) dt$

por lo tanto, PARA OTRO $a$ ARBRITRARIO (que no sea -T/2)

$\int_{-T/2}^{T/2} f(t) dt = \int_{a}^{a+T} f(t) dt$

es esto lo que preguntas?

[PedroAAI]

Re: Demostración funciones periodicas

No, mi duda es que no entiendo por que demostraste que $\int_{0}^{T} f(t) dt = \int_{a}^{a+T} f(t) dt$. Para mi no hay nada que demostrar (estaré equivocado, porque sino no sería un ejercicio), dado que a es arbitrario, como dije antes, es inmediato que $\int_{a}^{a+T} f(t) dt = \int_{-T/2}^{T/2} f(t) dt$.

¿ Quizás es porque demonstrar que $\int_{a}^{a+T} f(t) dt = \int_{-T/2}^{T/2} f(t) dt$ es distinto a demonstrar que $\int_{-T/2}^{T/2} f(t) dt = \int_{a}^{a+T} f(t) dt$ ?

Un saludo y gracias por contestar

[Umbopa]

Re: Demostración funciones periodicas

primero he demostrado que $\int_{0}^{T} f(t) dt = \int_{a}^{a+T} f(t) dt$ y después he dicho que es inmediato relacionar el resultado con el que da Eulerfisico en su enunciado. No se si nos estamos liando xD

[PedroAAI]

Re: Demostración funciones periodicas

Sí, demostraste que $\int_{0}^{T} f(t) dt = \int_{a}^{a+T} f(t) dt$, que es demonstrar que la integral sobre un segmento de anchura T es siempre una constante.
Sin embargo, la pregunta que plantea Eulerfísico me parece una trivialidad, porque dado que a es arbitrario es directo que $\int_{a}^{a+T} f(t) dt = \int_{-T/2}^{T/2} f(t) dt$.
A lo mejor me estoy liando con el enunciado, cosas de la resaca

Un saludo

- - - Actualizado - - -

Nada, ya está, la pregunta que plantea Eulerfisico viene a ser demostrar que la integral sobre un segmento de anchura T (no me apetece escribir las integrales en latex) es una constante que es igual a la integral entre -T/2 y T/2. Gracias por contestar y siento darte la lata.

Un saludo

[Eulerfisico]

Re: Demostración funciones periodicas

Si, de hecho estas que han puesto anteriormente no son realmente demostraciones, solo están reemplazando a=T/2, lo que se debe probar es que la integral de funciones periódicas sobre un intervalo de longitud T es igual sin importar la partición que se haga el intervalo, se podría tomar a=pi, a=exp(-40) o cualquier constante y la igualdad sigue siendo valida, no hay anda de especial con tomar a=T/2, hay que demostrarlo en general para cualquier "a" sin partir de que el resultado es simplemente correcto.
Que Atrode halla demostrado con la integral de 0 a T es otro caso particular de a=0, pero no es un caso general.

[Umbopa]

Re: Demostración funciones periodicas

en el primer mensaje esta demostrado en general...