1r ciclo Norma operador lineal acotado

[azerbayan]

Hola, me piden que calcule la norma del operador T:${l}^{\infty}-->{l}^{\infty}$ definido asi: $Tx=({\tau}_{j}),$ siendo $x={\varepsilon}_{j}$ y ${\tau}_{j}=\frac{{\varepsilon}_{j}}{j}$
A ver si me podeis echar una mano, se que el resultado es 1 pero no se porque.
Un saludo.

[Bustikiller]

Re: Norma operador lineal acotado

Buenas,

Voy a intentar resolver tu cuestión, no sé si será una respuesta válida (todavía no he aprobado Métodos Matemáticos II pero estoy en ello) y supongo que la respuesta no tendrá mucho rigor pero bueno, ahí va.

Una definición de la norma de un operador lineal acotado es la que sigue:

(siento no usar el Latex pero es una fórmula un poco complicada y no tengo mucho tiempo).

La interpretación intuitiva que doy a la norma de un operador lineal acotado es "Como mucho, ¿cómo de grande es el resultado de aplicar este operador?" ¿Dos veces más grande? ¿Tres?
Ahora vamos con el operador en concreto. Es un operador que va del espacio de las sucesiones acotadas al espacio de las secuencias acotadas. Lo que hace este operador es que divide el n-ésimo elemento de la sucesión por n. Es decir, dada una sucesión

$(x_i) = (x_1, x_2, x_3, ..., x_n, ...)$

obtenemos

$Tx = (x_1, \frac{x_2}{2}, \frac{x_3}{3}, ..., , \frac{x_n}{n}, ...)$

La norma del espacio $l^\infty$ es el supremo de la secuencia, es decir, el número más alto. De acuerdo con la definición que estamos utilizando de norma de un operador, se toma ||x|| = 1, por lo que en la secuencia inicial el número más alto es el 1.

Al dividir cada número por su posición en la secuencia, y dado que el número más alto que hay en la secuencia original es 1, el número más alto que podemos encontrar en la secuencia imagen es también 1. Es decir, dada una secuencia:

(x) = (0.5, 0.2, 0.3, 0.8, ...), tenemos Tx = (0.5, 0.1, 0.1, 0.2, ...)

Si diese la casualidad de que el primer elemento fuese el más alto,

(y) = (1, 0.8, 0.3, 0.4, ...), tenemos Ty = (1, 0.4, 0.1, 0.1, ...)

Es decir, el elemento más grande de la secuencia Ty cuando la norma de y es 1 (es decir, el elemento más grande de y es 1) es 1.

No sé si ha quedado claro, pero así es como resolvería yo el ejercicio, aun siendo consciente de que no es completamente rigurosa la explicación. Un saludo, espero haberte ayudado.