Secundaria Desigualdad media aritmética, geométrica y armónica.

[Visitante]

Si a, b, c ≥ 0, probar que a^2 + b^2 ≥ 2ab y a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca.

Por la desigualdad de las medias aritmética, geométrica y armónica he demostrado
Media aritmética ≥ media armónica
(a+b)/2 ≥ 2/(1/a+1/b)
(a+b)^2≥4ab
a^2+2ab+b^2≥4ab
a^2+b^2≥4ab-2ab
a^2 + b^2 ≥ 2ab

En el siguiente me he quedado atascado lo he tratado a hacer con la media armónica como hice antes:
Media aritmética ≥ media armónica
(a+b+c)/3≥3abc/(ab+ac+cb)
(a+b+c)(ab+ac+cb)≥9abc
3abc+ca^2+ba^2+cb^2+ab^2+ac^2+bc^2≥9abc
a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)≥6abc

A partir de ahí no puedo continuar o es que ¿he cogido el mal camino?
¿Pueden continuar?

Gracias de antemano.
Atentamente,
Malevolex

[Al2000]

Re: Desigualdad media aritmética, geométrica y armónica.

Ya que demostraste la primera, úsala pare demostrar la segunda. Sólo tienes que sumar las tres desigualdades posibles tomando a, b y c de dos en dos

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Visitante]

Re: Desigualdad media aritmética, geométrica y armónica.

Estas sugiriendo sumar tres desigualdades?
es decir:
a^2 + b^2 ≥ 2ab
b^2+c^2≥2bc
c^2+a^2≥2ca
2a^2+2b^2+2c^2≥2ab+2bc+2ca
Se extrae factór común
2(a^2+b^2+c^2)≥2(ab+bc+ca)
El se va con el dos, pues 2/2=1 y resulta:
a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca
Y queda demostrado

Muchas gracias Al2000, no se me había ocurrido hacerlo en pares en vez de los tres a la vez.
Cuando uno tiene un conjunto de números (a,b,c...n) y tiene que demostrar que obedece cierta propiedad de ser mayor o igual como ha sido este problema y se puede hacer por la desigualdad armónica, aritmética y geométrica ¿Es preferible hacerlo en pares que cogerlo de golpe o de tres en tres, etc?

Atentamente,
Malevolex