1r ciclo Comprobación de grupo

[gdonoso94]

Hola, estoy estudiando teoría de grupos, y tengo el siguiente ejercicio resuelto, pero no sé como llega a la resolución, no consigo verlo:

Sobre el intervalo G=(-1,1) de la recta real, se define una aplicación que denotamos * definida por:

$\dst x*y=\frac{x+y}{1+xy}$

Demostrar que G es un grupo abeliano.

Primero demuestro que es un grupo, es decir, que la operación definida es interna, que es asociativa y que posee elemento neutro e inverso. En el caso de que sea un grupo, la conmutatividad es evidente.

Mis problemas aparecen para demostrar que es una ley interna. En la solución aparece:

Dados $x,\, y\in G$ es $|x|<1$, $|y|<1$, luego $|xy|=|x||y|<1$, y por lo tanto, $1+xy>0$. En particular $1+xy\neq 0$, luego $x*y$ es un número real.

Hasta ahí bien, es el mismo procedimiento que he seguido yo, pero a partir de aquí no sé seguir. La solución dice así:

Además, dados $x,\, y\in G$, como $0<x^2<1$, se tiene

$\dst 1-y^2 > x^2(1-y^2)$,

[...]

A ver, entiendo que esa desigualdad no diga ni más ni menos que $x^2<1$, pero si no ves que puedes proceder así... ¿Hay alguna otra forma de demostrar que la operación es interna?

Saludos y gracias de antemano.

[angel relativamente]

Re: Comprobación de grupo

Pues no se me ocurre otra forma de proceder, pero la suposición de que $x^2<1$ no me parece tan rara. Quizá partir luego de pronto de un $1-y^2$ sacado de la manga sí que es un poco más idea feliz, pero me gustaría verla completa (si no es muy larga) para entenderla.
Supongo entonces que entiendes la solución perfectamente pero que quieres ver si hay una más "natural", ¿no? :P

[gdonoso94]

Re: Comprobación de grupo

Sí, a partir de ahí es bastante trivial proceder:

$\dst 1-y^2>x^2(1-y^2) \,\longrightarrow\, 1+x^2y^2>x^2+y^2 \,\longrightarrow$

$\dst \longrightarrow\, 1+x^2y^2+2xy>x^2+y^2+2xy \,\longrightarrow\, (1+xy)^2>(x+y)^2$

Entonces:

$\dst (x*y)^2=\frac{(x+y)^2}{(1+xy)^2}<1$

Con lo que se demuestra que es una ley interna.

Mi duda, como bien afirmas, es si hay alguna forma más "natural" de hacerlo.

Saludos y gracias.

[angel relativamente]

Re: Comprobación de grupo

Bueno, en el fondo no es tan antinatural. Ya sabrás que en matemáticas siempre se explica al contrario de lo que se razona, y así se justifican las ideas felices. La verdad partir de la desigualdad $1-y^2>x^2(1-y^2)$ para llegar a tener el cuadrado de los denominadores no creo que sea algo que se le ocurra a alguien de primeras, probablemente ni al que hizo la solución. Pero a la inversa no es tan raro: Sabes desde el primer momento, una vez comprobado que el denominador es distinto de cero, que lo que tienes que ver es que el denominador sea mas grande que el numerador (hablando en módulos) para que el número esté en G. También de forma un poco "natural" se intuye que es más cómodo trabajar con módulos para estar en (0,1), o bien con cuadrados. Luego al desarrollar sale todo solo, y razonar de la última desigualdad (la primera que pones) que es siempre cierta es trivial porque se ve de primeras que puedes simplificarlo a $x^2<1$.

[gdonoso94]

Re: Comprobación de grupo

Me cuesta aún bastante buscar cómo debe ser el final para llegar al principio, pero sí, entiendo lo que me quieres decir.

Si a alguien, aún así, se le ocurre alguna otra forma... Es bienvenido.

Saludos y gracias, Ángel.