Secundaria Demostración valor absoluto

[The Higgs Particle]

Hola, tengo un ejercicio que he sacado de un libro y me he quedado trabada.

"Demuéstrese que si a y b son dos números reales cualesquiera entonces $a \cdot b$ $= \left\vert{a} \right\vert{} \cdot \left\vert{b} \right\vert{}$

Si $a > 0$ y $b > 0$, entonces $\left\vert{a} \right\vert{} = a; \left\vert{b} \right\vert{} = b$, por lo que $a \cdot b$ $= \left\vert{a} \right\vert{} \cdot \left\vert{b} \right\vert{}$. Si $a < 0$ y $b < 0 \to \left\vert{a} \right\vert{} = -a; \left\vert{b} \right\vert{} = -b$; $\left\vert{} a \cdot b \right\vert{} = a \cdot b$

¿Tendría ahora que hacer: si $a > 0$ y $b < 0$, $\left\vert{a} \right\vert{} = a; \left\vert{b} \right\vert{} = -b \to$ y si $a < 0$ y $b > 0$?

Gracias de antemano

[Visitante]

Re: Demostración valor absoluto

Creo que no tienes que hacerlo porque no se cumple la igualdad:
\left\vert{} A \right\vert{} \geqslant 0

Pero -b no es igual al valor absoluto de b, más bien es igual al valor absoluto de b por -1.

si fuese a*-b= /a/*-1*/b/
si a es menor que cero y b es mayor que 0 y viceversa entonces la igualdad no se cumple, resulta que:
a*(-b) \leqslant /a/*/b/
Cumpliéndose la igualdad para b menor o igual que 0.

[Al2000]

Re: Demostración valor absoluto

...
"Demuéstrese que si a y b son dos números reales cualesquiera entonces $a \cdot b$ $= \left\vert{a} \right\vert{} \cdot \left\vert{b} \right\vert{}$
...

Es claro que la proposición inicial es falsa, pues si $a$ y $b$ tienen signos diferentes, entonces su producto es negativo, contrario a lo propuesto. ¿Será que te "comiste" el valor absoluto en el miembro izquierdo?

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[gdonoso94]

Re: Demostración valor absoluto

Toda la razón a Al. En cuanto a tu pregunta, bastaría con hacer una de las dos y luego decir que de forma análoga se demuestra el caso contrario (o intercambiando a por b).

Saludos.

[The Higgs Particle]

Re: Demostración valor absoluto

Sí, tenéis razón, es $|a \cdot b| =| a| \cdot |b|$

Malevolex, (perdona si no lo he expresado con suficiente claridad) lo que quiero decir es que si $b < 0 \to |b| = -b$.

[nielsBohr]

Re: Demostración valor absoluto

Para números complejos, la operación de valor absoluto (o módulo) se define como: $|n| =\sqrt{a^2 + b^2}$
Donde $a, b$ son las componentes real e imaginaria del número $n$; esto es $n = a + b \text{i}$

Los números reales son el caso particular de los números complejos donde la componente imaginaria $b$ es nula; por lo cual $n = a$
Y el valor absoluto queda resumido en $|n| = \sqrt{a^2} = \sqrt{n^2}$

Entonces, desarrollando el valor absoluto del producto de dos números reales $m, o$: $|m \cdot o| = \sqrt{ (m \cdot o)^2 } = \sqrt{m^2 \cdot o^2} = \sqrt{m^2} \cdot \sqrt{o^2} = |m| \cdot |o|$

[Visitante]

Re: Demostración valor absoluto

Sí, tenéis razón, es $|a \cdot b| =| a| \cdot |b|$

Malevolex, (perdona si no lo he expresado con suficiente claridad) lo que quiero decir es que si $b < 0 \to |b| = -b$.

Entonces sí, pensaba que era para todo número real.