1r ciclo Problema de Conjuntos y Relaciones

[Navegante21]

Sean R y S dos relaciones en el conjunto A. Determine la validez de la siguiente proposición:

Si R y S son antisimétricas, entonces R U S (unión) es antisimétrica.

La solución:

El enunciado no es en general cierto. Sea A={1,2,3} y las relaciones R={(1,2),(1,1),(2,2),(1,3)} y S={(1,1),(3,1) que son ambas antisimétricas y sin embargo R U S={(1,2),(1,1),(2,2),(1,3),(3,1)} no es antisimétrica ya que 1(R U S)3 y 3(R U S)1 mientras que 1[FONT=arial][/FONT][FONT=arial]≠3[/FONT][FONT=arial].

[/FONT][FONT=arial]Claro, está resuelto, pero yo no lo entiendo.
El tema es que [/FONT]R={(1,2),(1,1),(2,2),(1,3)} y no veo cómo puede ser (1,2) (o cualquier otro par de números diferentes) una relación antisimétrica. Si lo fuera, 1R2 y 2R1, luego 2=1.

En fin, las cosillas que tiene estudiar mates por la Uned.
A ver si alguien me echa una mano, muchas gracias de antemano.

[nielsBohr]

Re: Problema de Conjuntos y Relaciones

Tenes razón, sea $\Gamma$ una relación binaria sobre un conjunto $\Omega$, si $\{ (a, b) \in \Gamma \} \wedge \{ (b, a) \in \Gamma \}$ y $a \neq b$, entonces $\Gamma$ no es antisimétrica.

Pero (a menos que se lo halla definido explícitamente) el hecho de que $(a, b) \in \Gamma$ (también escrito $a \Gamma b$) no implica que $(b, a) \in \Gamma$. Creo que esa es tu confusión.

Hay relaciones donde el hecho de que $a \Gamma b$ implica que $b \Gamma a$; se llaman relaciones simétricas.
Una relación simétrica donde cualquier par $(a, b) : (a, b) \in \Gamma \to a = b$ es antisimétrica: si todos los pares de la relación tienen elementos iguales, no habrá pares con elementos distintos (o dos pares con elementos distintos de la forma $(a, b), (b, a)$).
También hay relaciones simétricas que no son antisimétricas.
Lo contrario a la simetría es la asimetría, la antisimetría es una cuestión aparte.

$\Gamma = \{ (1, 1), (1, 2), (2, 3), (2, 2) \}$ es antisimétrica.
$\Gamma = \{ (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3) \}$ no es antisimétrica (debido a que $1 \Gamma 2 \wedge 2 \Gamma 1$).
$\Gamma = \{ (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2) \}$ no es antisimétrica, y es simétrica (debido a que $a \Gamma b \to b \Gamma a$).
$\forall a, b \in \mathbb{N}, a \Gamma b \iff \gcd{(a, b)} = 1$ (relación mejor conocida como números coprimos) es simétrica (si $a$ es coprimo con $b$, $b$ es coprimo con $a$) pero no es antisimétrica (un número no es coprimo con si mismo, o todos los números coprimos entre sí no son iguales).
$(\Omega , =)$ (relación de igualdad) es simétrica (si $a = b$ entonces $b = a$) y es antisimétrica ($\nexists (a, b) : a=b \wedge a \neq b$).

Por ejemplo, $<, >$ son asimétricas y antisimétricas.

Es interesante notar que toda relación asimétrica es antisimétrica.

[Navegante21]

Re: Problema de Conjuntos y Relaciones

Muchísimas gracias NielsBohr. Has aclarado toda mi duda. Y la verdad es que no sabía que, generalmente, si , no implica que . Pero como en la definición de antisimetría de mi libro estoy harto de ver, luego a=b, pues estaba loco buscando la relación .
De verdad, qué gusto respuestas tan rápidas, precisas y completas.
Un saludo.