Secundaria Divisibilidad

[Visitante]

En un problema me han pedido:
"Pruebe que para cualquier número natural n el número n3 +2n
es múltiplo de 3."

Lo que he hecho es lo siguiente

si n^3 + 2n es divisible por 3 entonces ha de haber un número natural x tal que:
3x=n^3+2n
3=n(n^2+2)/x

Si 3 divide a un número n(n^2+2) y no divide a n ya que n puede ser cualquier número natural que no sea múltiplo de 3, entonces 3 estrictamente tiene que dividir a n^2+2, es decir:
3z=n^2+2
n^2=3z-2
n divide a 3z-2, pero podemos sustituir n^2 arriba es decir:
3x=n(3z-2+2)
3x=n(3z)
y como 3 no divide a n entonces tiene que dividir estrictamente a 3z, y se ve claramente que en 3z está 3 lo que corrobora que 3z sea múltiplo de 3, pues 3z/3=z.

Ahora mi duda es, este es un problema de la olimpiada matemática que estoy preparando, ¿a los que corrigen les satisface esta demostración? ¿Otorgarían los siete puntos?

Gracias de antemano,
malevolex

[angel relativamente]

Re: Divisibilidad

Si 3 divide a un número n(n^2+2) y no divide a n ya que n puede ser cualquier número natural que no sea múltiplo de 3, entonces 3 estrictamente tiene que dividir a n^2+2

Esto no me cuadra. Partes de la premisa de que 3 divide a n(n^2+2) y eso es precisamente lo que te piden demostrar. Entiendo que lo que quieres decir es: Supongamos que 3 divide a ese número. Si divide a n ya está hecho. Si no, debería dividir a n^2+2. No obstante, ¿qué acabas demostrando? Lo único que has visto es que si 3 divide a n^2+2 entonces divide a n^3+2n, pero ni tan siquiera has visto que 3 divida a n^2+2, ¿no?

[Visitante]

Re: Divisibilidad

Si 3 divide a n^2 +2:
3z=n^2+2
3z-2=n^2
Sustituyendo n^2 se llega a que
3x=n(3z)
Como 3 no puede dividir a n tiene que dividir a 3z, y todo número multiplicado por 3 es divisible por 3...

[Al2000]

Re: Divisibilidad

Pero es que no has demostrado nada... coge lo que escribiste y cambia el "3" por un "5" (o un 7, 9, 11, 4, etc...) y tendrás exactamente la misma "demostración"... entonces podrías afirmar el absurdo que n^3 + 2n es divisible por cualquier número.

Yo estoy de acuerdo contigo hasta donde dices que n^2 + 2 debe ser divisible por 3... bueno, ¡pruébalo! pero si asumes que es divisible por 3, entonces automáticamente estás haciendo válida la proposición inicial.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[angel relativamente]

Re: Divisibilidad

La demostración la haría como sigue: Tenemos 3 casos: O bien n es múltiplo de 3, o bien al dividir n entre 3 da resto 1, o bien que al dividir n entre 3 da resto 2. Empecemos:

-Supongamos que n es múltiplo de 3, entonces ya está porque $n(n^2+2)$ es múltiplo de n.
-Supongamos que al dividir n por 3 el resto da 1, entonces $n-1$ es múltiplo de 3. Y si al dividir n entre 3 el resto es 2, entonces $n+1$ es múltiplo de 3.
Como estamos en estos dos casos, sabemos que n no es múltiplo de 3 por lo que queremos comprobar si $n^2+2$ lo es. Pero tenemos que $n^2+2=n^2-1+3=(n-1)(n+1)+3$, lo cual en cualquier caso es un múltiplo de 3.

[Visitante]

Re: Divisibilidad

Ya veo, duda resuelta, parece que voy a tener que entrenar más porque no es tan fácil llegar a esa solución.

[angel relativamente]

Re: Divisibilidad

Resumo las ideas en una demostración más corta, por si se ve más claro:

Sabemos que si tenes 3 números consecutivos al menos uno es múltiplo de 3, por lo que el producto de 3 números consecutivos es múltiplo de 3. El número $n^3+2n$ podemos factorizarlo de la forma $3n+(n-1)\cdot n \cdot (n+1)$. Ahora vemos que claramente 3n es múltiplo de 3 y que $(n-1)\cdot n \cdot (n+1)$ también lo es por ser el producto de tres números consecutivos.

Entiendo que estas cosas cuestan de ver hasta que no se tiene práctica. Pero ánimo, es importante que lo intentes, veas dónde te equivocas y lo corrijas para llegar a entenderlo bien

[Visitante]

Re: Divisibilidad

Ingenioso

[Al2000]

Re: Divisibilidad

Mi propia demostración no fue tan elegante como la de angel relativamente y va al hilo de su segundo mensaje. Si $n$ es del tipo $n=3m$, entonces se ve de inmediato que $n(n^2 + 2)$ es múltiplo de 3; pero si $n$ es del tipo $n = 3m + 1$ o bien $n = 3m + 2$, entonces no cuesta mucho mostrar que $n^2 + 2$ es múltiplo de 3.

Saludos,

$\mathcal A \ell$