Secundaria Inecuaciones y ecuaciones valor absoluto

[Jorge 2014]

Hola, me gustaria saber si estos 3 métodos que se me han ocurrido para resolver inecuaciones y ecuaciones con valor absoluto son válidos como regla general o solo sirven para este caso. (Como no se como poner en latex el simbolo de unión lo pongo como una U)

En mi ejemplo yo tengo $\frac{|3x + 12|}{ |x+2|} > 1$.

1) Esta es la más basica, me baso en las propiedades del valor absoluto $|x| > k \Leftrightarrow x > k$ U $x < -k$. De esta forma me sale: $\frac{3x + 12}{x+2 } > 1$ U $\frac{3x + 12}{x+2 }<-1$. Finalmente llego a que la solución es $(- \infty , -5)$ U $(-7/2, 2)$ U $(-2, \infty )$.

2) La segunda es elevar al cuadrado para quitar los valores absolutos: $\frac{{(3x + 12)}^{ 2}}{ {(x +2)}^{2 }} > 1 \to \frac{4(x + 7/2)(x+5)}{ {(x+2)}^{ 2}} > 0$, por lo que la solución es: $(- \infty , -5)$ U $(-7/2, 2)$ U $(-2, \infty )$., aunque aquí he tenido yo que quitar manualmente el -2 (ya que nos saldria una indeterminacion $k / 0$).

3) La tercera es calcular los intervalos en los que los valores absolutos salen positivos y en los que salen negativos. Me ha salido que $(-\infty, -4)$ ambos son negativos; $(-4, -2)$ sólo es negativo el denominador; y que para $(-2, \infty)$ son ambos positivos. Es decir:
a) $\frac{-3x-12}{ -x-2} > 1$ ; b) $\frac{3x+12}{ -x-2} >1$; c) $\frac{3x+12}{x+2 } > 0$. Haciendo la unión de todos los intervalos que salen en cada caso tengo como solucion final: $(- \infty , -5)$ U $(-7/2, 2)$ U $(-2, \infty )$.

Gracias por contestar!!

[visitante20160513]

Re: Inecuaciones y ecuaciones valor absoluto

Pues este tipo de ejercicios suelen ser complicados y exigir un grado de refinamiento en los razonamientos elevado. Los tres métodos que propones bien aplicados son correctos aunque suele ser más efectivo descomponer estas inecuaciones en otras más sencillas en lugar de en otras más complejas, lo que quizás descarte el segundo método, ya que elevar al cuadrado una inecuación suele complicar el problema en lugar de simplificarlo. Así pues desde mi punto de vista el primero y el tercero quizás sean los más efectivos, aunque desde luego no son los únicos, hay otras técnicas que conducen a menudo a la solución. No son desde luego los únicos métodos para resolver este tipo de problemas pero es difícil dar un método general para resolverlas, mientras más métodos conozcas mejor. Lo que si puede afirmarse de forma general es que reducir la ecuación planteada al problema de resolver una o varias ecuaciones más sencillas suele ser mucho más efectivo.

Salu2, Jabato.