Secundaria Exponenciales y logaritmos

[Jorge 2014]

Hola, en un ejercicio me piden que demuestre a partir de una función que tiene un mínimo relativo en el punto de abcisas e, que ${x}^{e } < {e}^{ x}$ para un entorno reducido de e. Desarrollándolo todo llego a:

$e \cdot ln (x) > x \to ln ({x}^{ e}) > x$, y según el solucionario voy bien y lo único que me falta es elevarlo todo a e ¿Existe alguna propiedad que sea: ${a}^{{log}_{a }{b}^{a } } = {b}^{ a}$?

Gracias!

[Visitante]

Re: Exponenciales y logaritmos

No sé si existe tal propiedad pero creo que es cierta, pues:
loga= log en base a
a^(loga b^a)=b^a
a^a(loga b)= ( a^(loga b))^a = b^a ahora date cuenta que si sacamos raíz (a)=1/a sería
( a^(loga b))^a/a = b^a/a

a^loga b= b

Por lo que creo que se cumple esta nueva propiedad.

Saludos.


Pero sin demostración matemática se ve evidentemente que es lo mismo pues: a^x=b^a y x=loga b^a

[The Higgs Particle]

Re: Exponenciales y logaritmos

Esa propiedad sí que existe y está relacionada con los antilogaritmos.

Mira en esta página, en el apartado "Canceling exponentials" http://en.wikipedia.org/wiki/List_of...mic_identities

[Visitante]

Re: Exponenciales y logaritmos

nunca había oído hablar de antilogaritmos

[The Higgs Particle]

Re: Exponenciales y logaritmos

Mira esto, también habla de los cologaritmos: http://www.vitutor.net/2/5/7.html

Viene a decir que si tenemos ${log}_{a } b = x \Leftrightarrow {a}^{x } = b \to {antilog}_{ a} x = b$

[Visitante]

Re: Exponenciales y logaritmos

Los cologaritmos me parecen bastante interesantes la verdad, pero en cuanto a la anterior propiedad de los logaritmos puede expresarse del siguiente modo teniendo en cuenta los antilogaritmos:
antiloga (loga b^a)=b^a

Y evidentemente los antilogaritmos y cologaritmos tienen las mismas propiedades que los logaritmos¿

[angel relativamente]

Re: Exponenciales y logaritmos

No es tan complicado, tienes que $\displaystyle {a}^{{log}_{a }{b}^{a } } = {b}^{ a}$, solo toma logaritmos en base "a" en ambos miembros y obtienes una igualdad trivial. De hecho eso no es una propiedad, es la definición de logaritmo. El logaritmo del número $b^a$ en base $a$ es, por definición, el número al que hay que elevar $a$ para obtener $b^a$, ¿no? Pues blanco y en botella, llama si quieres $c=\log_a{b}$ y tienes que ese es el número tal que $a^c=b^a$.

Saludos,

PD: De hecho si tienes que $ln ({x}^{ e}) > x$, implica que (por la inyectividad de la exponencial y la definición ya dicha anteriormente) $x^e > e^x$. ¿No es acaso lo contrario de lo que querías demostrar?