1r ciclo ¿La demostración del profesor está mal?

[MrM]

Buenas, ayer el profesor de Análisis quiso demostrarnos por qué $\sqrt{2}$ no es un número racional. Lo hizo mediante reducción al absurdo, pero creo que he encontrado un pequeño fallo en su demostración.

Lo hizo de este modo:

Si $\sqrt{2}$ es un número racional, podrá expresarse del modo [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Suponemos que q y p son primos entre sí (esto es importante), ya que, de no serlo, podríamos simplificar la fracción para que lo fueran.
$\sqrt{2}=\frac{p}{q} \Rightarrow \sqrt{2}q=p \Rightarrow 2{q}^{2}={p}^{2}$. Ahora bien, al descomponer q factorialmente nos queda $q={2}^{a}n$. a puede adoptar cualquier valor, incluso 0, pero obligatoriamente se puede expresar como 2 elevado a "a" por otro número. Por lo tanto, ${q}^{2}={2}^{2a}{n}^{2}$.

Del mismo modo, $p={2}^{b}m \Rightarrow {p}^{2}={2}^{2b}{m}^{2}$

Tenemos que $2{q}^{2}=2*{2}^{2a}{n}^{2}={2}^{2a+1}{n}^{2}$.

Aquí está el meollo de la cuestión. En ${2}^{2a+1}$, el exponente siempre va a ser impar, y en ${2}^{2b}$, el exponente siempre va a ser par. Si se cumpliera la igualdad $2{q}^{2}={p}^{2}$ ambos términos tendrían la misma descomposición factorial, pero acabamos de demostrar que no la tienen, luego la igualdad no se cumple, y por tanto $\sqrt{2}$ no puede ser expresado como razón de dos números enteros.

Fin de la demostración.


Yo creo que ha cometido un error, pues si q y p son primos entre sí, es imposible que ambos sean divisibles por 2. Yo lo haría del siguiente modo:
Una vez hemos llegado a $2{q}^{2}={p}^{2}$, tenemos tres posibilidades:

*Si q es divisible entre 2, p no puede serlo. Por lo tanto, $2{q}^{2}={p}^{2}$ se podría expresar como ${2}^{2a+1}n={2}^{0}m$. Como es imposible que se cumpla la ecuación 2a+1=0, siendo a un número entero, ambos términos no se cumplen.

*Si p es divisible por 2, q no puede serlo. En este caso, nos quedaría $2n={2}^{2b}m$. Nuevamente, al igualar los exponentes de los doses nos queda 1=2b, que no tiene solución en $Z$, luego la igualdad no se cumple.

*Si q y p no son divisibles por dos, quedaría $2n=m$, en cuyo caso al igualar los exponentes de los doses quedaría 1=0, demostrando que 2n=m no es una igualdad.


También se podría arreglar quitando lo de que "p y q" son primos entre sí. Así, la demostración del profesor sería válida.

Mi pregunta es: ¿llevo razón y el profesor se equivocó? ¿O he buscado un modo innecesariamente tedioso, cuando podría haberlo hecho como el profesor?

Sé que el fallo que he buscado es mínimo (se puede arreglar cambiando una frase), pero me han dicho que mi profesor de Análisis es muy escrupuloso, y un fallo de este tipo puede suponer que te ponga el ejercicio mal en el examen, por lo que quiero asegurarme.

Un saludo.

[nielsBohr]

Re: ¿La demostración del profesor está mal?

A ambas demostraciones las creo correctas.

[...]Si $\sqrt{2}$ es un número racional, podrá expresarse del modo [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Suponemos que q y p son primos entre sí (esto es importante), ya que, de no serlo, podríamos simplificar la fracción para que lo fueran.[...]

[...]Yo creo que ha cometido un error, pues si q y p son primos entre sí, es imposible que ambos sean divisibles por 2.[...]

[...]También se podría arreglar quitando lo de que "p y q" son primos entre sí. Así, la demostración del profesor sería válida.[...]

Primero. El hecho de que $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$, conlleva (como para cualquier otro elemento de $\mathbb{Q}$) a que puede ser expresado de la forma: $\frac{p}{q} : \text{MCD}(p, q) = 1$

$\text{MCD}(a, b)$ denota al Máximo Común Divisor entre $a$ y $b$.

Esto es directo de la definición de $\mathbb{Q}$:

Todo número que pueda ser expresado como el cociente de dos números enteros.

Tomemos una fracción cualquiera, que represente a un elemento cualquiera de $\mathbb{Q}$:

$\forall n : n \in \mathbb{Q} \quad , \quad \exists a, b : \{ a, b \in \mathbb{Z} \wedge n = \frac{a}{b} \}$

Si $\text{MCD}(a, b) \neq 1$, es decir, no son coprimos, podemos dividir a ambos por su Máximo Común Divisor; llegando a una nueva fracción simplificada con numerador y denominador primos entre sí.
$n = \frac{a}{b} : a, b \in \mathbb{Z} \quad \to \quad n = \frac{a}{b} \cdot \frac{\text{MCD}(a, b)}{\text{MCD}(a, b)} = \frac{a / \text{MCD}(a, b)}{b / \text{MCD}(a, b)}$
Y $\text{MCD}(\frac{a}{\text{MCD}(a, b)}, \frac{b}{\text{MCD}(a, b)}) = 1$.

La suposición del profesor es válida. El trata de afirmarlo, brevemente, cuando dice:

Suponemos que q y p son primos entre sí, ya que, de no serlo, podríamos simplificar la fracción para que lo fueran.

[...]tenemos tres posibilidades:

*Si q es divisible entre 2, p no puede serlo. Por lo tanto, $2{q}^{2}={p}^{2}$ se podría expresar como ${2}^{2a+1}n={2}^{0}m$. Como es imposible que se cumpla la ecuación 2a+1=0, siendo a un número entero, ambos términos no se cumplen.

*Si p es divisible por 2, q no puede serlo. En este caso, nos quedaría $2n={2}^{2b}m$. Nuevamente, al igualar los exponentes de los doses nos queda 1=2b, que no tiene solución en $Z$, luego la igualdad no se cumple.

*Si q y p no son divisibles por dos, quedaría $2n=m$, en cuyo caso al igualar los exponentes de los doses quedaría 1=0, demostrando que 2n=m no es una igualdad.[..]

Segundo. De esas tres posibilidades, a priori, la primera y tercera quedan descartadas:
Como $2=\frac{p^2}{q^2}$, a lo sumo, uno de los dos es par (divisible por $2$).
Y como $2 q^2=p^2$, $p^2$ es divisible por $2$, y por lo tanto $p$ también.

Y solo resta analizar la segunda posibilidad, de la forma en que tú lo hiciste.

Pero desarrollar las tres posibilidades también es correcto.

[...]Yo creo que ha cometido un error, pues si q y p son primos entre sí, es imposible que ambos sean divisibles por 2.[...]

Tercero. Exactamente, conjeturar que $\sqrt{2}$ es racional ($\sqrt{2} = \frac{p}{q}$) supone que $p, q$ sean coprimos y ambos divisibles por $2$, lo cual es absurdo.


Me gustaría terminar con otra demostración:

Como vimos, suponer $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$ implica que $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ con $p, q \in \mathbb{Z}$ y primos entre sí. Es claro, por ser $p, q$ coprimos, $p^2, q^2$ también lo son.

Notemos que $\sqrt{2} = \frac{p}{q} \quad \to \quad 2 = \frac{p^2}{q^2}$. Debido a que el cociente de la división es entero, $q^2$ debe dividir a $p^2$. Pero habíamos concluído que $p^2, q^2$ eran coprimos, lo cual es ABSURDO.

[Visitante]

Re: ¿La demostración del profesor está mal?

ese método es uno de las muchas demostraciones acerca de la irracionalidad de V2, pero no es más inmediato suponer que p^2 al ser un cuadrado perfecto sus descomposición en factores primos tienen que estar elevador a dos o una potencia par de o lo que es lo mismo , el 2 tiene que estar por lo menos dos veces y eso implica que esta dentro de b y por ello se llega a la reducción al absurdo (ambos son pares), no es mucho más rápido que hacer la demostración que mencionó tu profesor de Análisis? Este método también se puede aplicar para demostrar la irracionalidad de 3...

Pd: esta idea se me ocurrió en clase cuando trataban de demostrar la irracionalidad de 2, propuse este método más rápido pero nadie me entendió ni la profe de mates, así que no sé si se me ha entendido.

Saludos,
Malevolex