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Demostración

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  • Breogan
    ha respondido
    Re: Demostración

    Hola:

    Escrito por Malevolex Ver mensaje
    Demostrar que el número es natural para todo n natural.
    (2n)!/(n!n!)
    Como ya te han dicho el principio de inducción es una herramienta muy útil, poderosa, y la cual no podes dejar de conocer, sobre todo en el ámbito matemático.

    Borre una parte del presente mensaje, ya que luego de publicado me di cuenta que samir tiene razón, y la demostración de Umbopa no es correcta.


    Como numero combinatorio lo podrías escribir como:



    que por su origen probabilistico debe ser entero "cantidad de eventos al extraer n elementos de un conjunto que contiene 2n elementos sin orden ni repetición" , pero no creo que nadie tome esto como una demostración formal del problema.

    Solo para mi satisfacción, no porque sea necesaria, voy a intentar otra demostración. Reemplazo los factoriales por su expresión como productorias:





    Ahora podemos descomponer la productoria del numerador como:



    y como:



    Resulta que:



    Ahora falta demostrar que el denominador aparece como un multiplicando en el numerador, de forma que se pueda simplificar con el denominador.
    Después lo sigo en este mismo post, ahora no puedo seguir.

    s.e.u.o.

    Suerte.
    Última edición por Breogan; 01/10/2014, 00:50:24.

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  • Samir M.
    ha respondido
    Re: Demostración

    A ver, no sé si me explico mal o si me estoy colando todo el rato.

    Deseamos demostrar por inducción que con . Por inducción:

    Veamos que se cumple para :

    Hipótesis de inducción: supongamos que se cumple para . Luego, ahora, hasta el momento, sabemos que

    Entonces para también ha de cumplirse. Así,

    .

    Definamos ahora


    además sabemos de la hipótesis de inducción que


    Así, lo que queremos demostrar es que , pero y como entonces para probar que se debe cumplir que lo cual obviamente no se cumple para n = 2, luego no podemos hacer la demostración por esta inducción.


    El hecho de que para n = 2 no implica que (el mismo caso n = 2 es un contraejemplo. pd: podríamos haber cogido cualquier n en vez de n = 2 y se seguiría sin cumplir) que es lo que necesitamos para completar la demostración. No nos dice nada sobre B, puede que sea natural, o puede que no. Lo que está claro es que para completar la demostración por inducción hay que demostrar que B es natural y para ello hay que mirar que pero hemos visto que no se cumple para n = 2.

    Pd: Si a alguien le molesta la negrita que me lo comunique y la suprimo.

    Saludos.
    Última edición por Samir M.; 01/10/2014, 02:36:31. Motivo: Erratas en latex y completar la respuesta.

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  • arivasm
    ha respondido
    Re: Demostración

    Y samir también la tiene, cuando dice que no es cierta la demostración por inducción que hizo Umbopa (por el error en el denominador que también se me pasó por alto) y, entonces, que me equivoqué cuando dije que era impecable.

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  • Avatar del visitante
    Respuesta de visistante
    Re: Demostración

    Weip tiene razón

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  • Weip
    ha respondido
    Re: Demostración

    Escrito por samir Ver mensaje
    No se puede hacer por inducción simplemente porque no se cumple.
    No me refería a la demostración, pero de todas formas para n=2 el número de la expresión completa que has puesto da 20, no veo el problema. Sí, una de las fracciones da decimal, pero no has acabado de multiplicar.
    Última edición por Weip; 30/09/2014, 21:36:55.

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  • Samir M.
    ha respondido
    Re: Demostración

    Escrito por arivasm Ver mensaje
    La demostración que ha hecho Umbopa en el post #2 es impecable. Mírate en qué consisten las demostraciones por inducción: http://es.wikipedia.org/wiki/Inducci...atem%C3%A1tica


    En esencia es como lo ha hecho él: primero se verifica el cumplimiento para el primer caso de la sucesión; después se comprueba que si se supone válido el caso n-simo entonces también implica que lo será el n+1. Si es así entonces es válido para cualquier n. Ten en cuenta que una vez comprobado para n=1, la segunda parte de la demostración implica que es válido para n=2, y entonces, por el mismo motivo, para n=3, de manera que también se cumple para n=4, etc.

    Escrito por Weip Ver mensaje
    ¿Y porqué no iba a servir? Es un método básico y muy útil de demostración, no creo que esté prohibido o algo. Si no lo pone en la normativa, es que te lo dejan utilizar (mal irían prohibiendo un método tan importante).



    No se puede hacer por inducción simplemente porque no se cumple. En efecto,





    que evidentemente falla para ya que es igual para a

    En definitiva, se puede usar inducción para probar que todos los coeficientes binomiales son números naturales pero no podemos decir nada sobre usando esta inducción.

    Otro posible camino: como podemos escribir podemos aplicar la identidad de pascal para obtener

    Saludos.
    Última edición por Samir M.; 30/09/2014, 21:23:14.

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  • Weip
    ha respondido
    Re: Demostración

    Escrito por Malevolex Ver mensaje
    Yo solo pedía algún otro método porque pensaba que quizá el método de inducción no servía en las olimpiadas.
    ¿Y porqué no iba a servir? Es un método básico y muy útil de demostración, no creo que esté prohibido o algo. Si no lo pone en la normativa, es que te lo dejan utilizar (mal irían prohibiendo un método tan importante).

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  • Avatar del visitante
    Respuesta de visistante
    Re: Demostración

    Yo solo pedía algún otro método porque pensaba que quizá el método de inducción no servía en las olimpiadas.

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  • angel relativamente
    ha respondido
    Re: Demostración

    Escrito por Malevolex Ver mensaje
    Y no hay alguna otra manera?
    Y siguiendo con lo que dice arivasm, más allá de que evidentemente existen otras maneras y es interesante estudiarlas, te recomiendo que te mires mucho el método de demostración por inducción. Sirve para demostrar muchísimas cosas, y en las olimpiadas seguro que te ayuda bastante. Y lo mejor de todo es que se sustenta en un axioma de los números naturales

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  • arivasm
    ha respondido
    Re: Demostración

    Ciertamente. De hecho, encuentro correcta tu propuesta de que es igual al número de formas de tomar n elementos de un conjunto formado por 2n y, evidentemente, dicha cantidad es un número natural.

    Mi aportación anterior sólo hacía referencia a tu pregunta sobre si la demostración de Umbopa podría invalidarse porque para algún n la operación fuese fraccionaria.

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  • Avatar del visitante
    Respuesta de visistante
    Re: Demostración

    Y no hay alguna otra manera?

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  • arivasm
    ha respondido
    Re: Demostración

    Escrito por Malevolex Ver mensaje
    ¿Pero y si resulta que (2n(2n+1)...(n+1))/(n(n1))...1 es fraccionario?
    Le he estado dando vueltas y he pensado que:
    ((2n)!)/(n!n!)=C(2n,n) Y las combinaciones siempre son números naturales ¿no?.
    La demostración que ha hecho Umbopa en el post #2 es impecable. Mírate en qué consisten las demostraciones por inducción: http://es.wikipedia.org/wiki/Inducci...atem%C3%A1tica

    En esencia es como lo ha hecho él: primero se verifica el cumplimiento para el primer caso de la sucesión; después se comprueba que si se supone válido el caso n-simo entonces también implica que lo será el n+1. Si es así entonces es válido para cualquier n. Ten en cuenta que una vez comprobado para n=1, la segunda parte de la demostración implica que es válido para n=2, y entonces, por el mismo motivo, para n=3, de manera que también se cumple para n=4, etc.
    Última edición por arivasm; 30/09/2014, 16:23:53.

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  • Avatar del visitante
    Respuesta de visistante
    Re: Demostración

    Escrito por samir Ver mensaje
    Otra manera: podrías demostrar que el número de subconjuntos de {1,2,..., 2n} que tienen tamaño n es ese número. O sea, que hay (2n)!/(n!n!) subconjuntos de tamaño n.
    Pero eso ya lo propuse yo, no como la cantidad de subconjuntos sino como una combinación C(2n,n), que puede ser cualquier cosa de combinación de 2n elementos tomados de n maneras sin repetición y sin importar el orden.

    ¿se os ocurre alguna otra manera?

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  • Samir M.
    ha respondido
    Re: Demostración

    Otra manera: podrías demostrar que el número de subconjuntos de {1,2,..., 2n} que tienen tamaño n es ese número. O sea, que hay (2n)!/(n!n!) subconjuntos de tamaño n. Entonces está claro que los n son enteros. Por inducción creo que no es posible porque estás asumiendo lo que quieres demostrar.

    - - - Actualizado - - -

    Bueno, aunque si podrías usar inducción para demostrar que todos los coeficientes binomiales son enteros.

    - - - Actualizado - - -

    Escrito por Umbopa Ver mensaje


    y entonces queda probado
    querrás decir ¿no?
    Última edición por Samir M.; 29/09/2014, 23:32:04.

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  • Avatar del visitante
    Respuesta de visistante
    Re: Demostración

    Pero si se da el caso de que An sea un número decimal?

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