Otras carreras Demostracion rara

[juan lopez]

Demostrar que si b y c son numeros positivos a / b ≤ c / d entonces a / b ≤ a + c / b + d ≤ c / d ; y que si se verifica una igualdad, se verifican todas.
Agradezco cualquier orientacion para hacer la demostracion ,estoy totalmente bloqueado.
Un saludo.
PD : SUPONGO QUE DEBE SER MUY FACIL ,PERO NO LA PILLO

[javier m]

Re: Demostracion rara

hmm

$\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{1+\frac{c}{a}}{1+\frac{d}{b}}$

Habría que ver que $1+\frac{d}{b} \leq 1+\frac{c}{a}$, pero eso sale (pero parece que $a$ y $d$ deben tener el mismo signo)

[Visitante]

Re: Demostracion rara

Una duda es a+c/b+d o (a+c)/(b+d)

- - - Actualizado - - -

Suponiendo que es
(a+c)/(b+d) entonces la demostración es simple:
a / b ≤ c / d se cumple por la propiedad arquimediana
ahora
a / b ≤ a + c / b + d ≤ c / d
esto resulta que
a + c / b + d ≤ c / d + a/b
entonces
(a+c)/(b+d)≤(cb+ad)/bd
esto dice que
a+c≤(cb+ad)(b+d)/bd
a+c≤(cb^2+abd+ad^2+cbd)/bd
o lo que es lo mismo
a+c≤(cb^2+ad^2)bd + bd(a+c)/bd
Esto se traduce en
(a+c)-(a+c)≤(cb)/d+(ad)/b
Y esto es
-(cb)/d≤(ad)/b
-cb^2≤ad^2
-c/d^2≤a/b^2
multiplicamos por -1 y entonces
-a/b^2≤c/d^2
si a es negativo entonces se resuelve por la propiedad arquimediana o lo del principio a/b≤c/d
Si a es positivo entonces resulta que un número positivo siempre es mayor que uno negativo y c/d^2 es positivo siempre porque c E N y d^2 siempre es un número natural


Saludos,
Malevolex