2o ciclo Resuelvo una serie usando aproximaciones y me sale el resultado exacto. ¿Por qué?

[morphete]

Buenas. Se trata de la siguiente serie:

$A= \sum _{k=0} ^N \dfrac{N! x^k}{k! (N-k)!}$

Al ser un caso particular del teorema del binomio, la solución exacta es fácil de encontrar y da $(x+1)^N$. Ahora busco un método aproximado para resolverlo: considero únicamente el término mayor y además uso la primera aproximación de la fórmula de Stirling para el factorial: $N! \approx N^N e^{-N}$. Pues sustituyendo y optimizando el término k para encontrar el término mayor (derivando e igualando a 0) encuentro $k_\mathrm{max} = \frac{xN}{x+1}$. Y sustituyendo y arreglando, resulta que me queda $(x+1)^N$.

Al aproximar por Stirling he hecho una sobreestimación del resultado que resulta que casualmente es igual a todos los términos restantes. Pero no logro entender el porqué. Imagino que tendrá que ver con la definición de la función gamma, pero no consigo explicarlo. ¿Alguien podría encontrar el motivo?

Gracias y un saludo