Secundaria Teorema de la Conservación del Signo

[The Higgs Particle]

Hola, estoy con la demostración del teorema de la conservación del signo (funciones) y hay un paso que no entiendo.

TEOREMA DE LA CONSERVACIÓN DEL SIGNO

El teorema de la conservación del signo dice que si una función $y = f(x)$ es continua en ${x}_{0 }$, $f({x}_{ 0}) \neq 0$, entonces existe un intervalo en el cual $f(x)$ tiene el mismo signo que $f({x}_{0 })$.

- Demostración

Si $f(x)$ es continua en ${x}_{0 }$, entonces $\lim_{x \to {x}_{0 }} f(x) = f({x}_{0})$. Utilizando la definición de límite: $\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$ | $0 < |x - {x}_{0 }| < \delta \to |f(x) - f({x}_{0 })| < \varepsilon$.
Y ahora utilizando la propiedad del valor absoluto $|x| < k \Leftrightarrow -k < x < k$, llegamos a:

$-\varepsilon < f(x) - f({x}_{0}) < \varepsilon$. Hasta aquí todo lo entiendo, pero no sé por qué ahora, al ser $f({x}_{0 }) < 0 \to f({x}_{0 }) = -\varepsilon$ o al ser $f({x}_{0 }) > 0 \to f({x}_{0 }) = \varepsilon$.

Claro está que con esto demostramos que $\forall x$ $\epsilon$ $E({x}_{0}, \delta)$, el signo de $f(x)$ es el mismo que el de $f({x}_{0 })$. Pero no entiendo ese paso. ¿Podríais ayudarme?

Muchas gracias!

[angel relativamente]

Re: Teorema de la Conservación del Signo

Hasta aquí todo lo entiendo, pero no sé por qué ahora, al ser $f({x}_{0 }) < 0 \to f({x}_{0 }) = -\varepsilon$ o al ser $f({x}_{0 }) > 0 \to f({x}_{0 }) = \varepsilon$.

Claro está que con esto demostramos que $\forall x$ $\epsilon$ $E({x}_{0}, \delta)$, el signo de $f(x)$ es el mismo que el de $f({x}_{0 })$. Pero no entiendo ese paso. ¿Podríais ayudarme?

No es que $f(x_0)=\varepsilon$, como si el $\varepsilon$ estuviese ya prefijado de antemano. La cuestión está en que en la definición de límite sabes que puedes encontrar un $\delta$ PARA TODO $\varepsilon>0$. En particular, si tomamos $\varepsilon=\left\vert{} f(x_0) \right\vert{}>0$, ha de existir ese delta que cumple que las imágenes de ese intervalo tengan el mismo signo. Date cuenta que, por ejemplo, también hubiese valido tomar $\varepsilon=\left\vert{} \dfrac12 f(x_0) \right\vert{}>0$ que el teorema seguiría igual de demostrado, aunque quizá la elección no sea tan acertada. Es muy común en las demostraciones que parten de un "para todo --> existe" buscar un valor particular de entre "todos" que sea astuto para demostrar el teorema.

Saludos