1r ciclo El rotacional.

[isaiasgaby]

[FONT=book antiqua]Hola. Tengo un problemilla matemático en cuanto a la definición intrínseca del rotacional: [/FONT][FONT=times new roman]Sea un campo vectorial [/FONT][FONT=book antiqua]A=A(r[/FONT][FONT=times new roman][FONT=book antiqua])[/FONT], el cual sea continuo y derivable en un punto P, definimos el rotacional del campo A evaluada en un volumen [/FONT][FONT=arial black]τ [/FONT][FONT=times new roman]como[/FONT][FONT=times new roman]:
[/FONT]

[FONT=times new roman][FONT=book antiqua]Obviamente, el rotacional es un vector, si bien en las clases no han definido tal vector; es decir, no aclaran, en concreto, su dirección y sentido. Además, según la definición intrínseca del rotacional, este vector ha de ser perpendicular al vector normal de todos los diferenciales de superficie dS_i que contribuyen la superficie cerrada, es decir, el contorno de [/FONT][/FONT][FONT=arial black]τ[/FONT][FONT=book antiqua]: [/FONT][FONT=Georgia]∂[FONT=arial black]τ[/FONT][/FONT][FONT=book antiqua]
[/FONT][FONT=book antiqua]Bueno, sin más preámbulos, el problemilla me ha surgido cuando quieren explicar el significado físico del rotacional con el concepto de circulación [/FONT][FONT=book antiqua]Γ[/FONT][FONT=book antiqua] donde se dice que la circulación por unidad de superficie es equivalente a la proyección del rotacional sobre la dirección del versor perpen[FONT=century gothic][/FONT]dicular a la superficie n:
[/FONT]

[FONT=book antiqua] Pero...si acabamos de definir el rotacional como un vector que es perpendicular a dS y al campo A, donde dS=dS· n; es decir, no puede haber proyección del rot(A) en la dirección del versor perpendicular a la superficie. Sin embargo, me ponen ejemplos de que el rotacional sí es paralelo al versor perpendicular a la superficie [/FONT][FONT=book antiqua]como es el caso de un hilo de corriente eléctrica de longitud indefinida que es fuente vectorial de un campo magnético B(r) - bueno, supongo que ya tenéis una imagen del diagrama vectorial de este fenómeno - donde dado un punto P que pertenezca a la recta [/FONT][FONT=book antiqua]Λ[/FONT][FONT=book antiqua] donde pasa la corriente, se tiene que: [/FONT]

[visitante20160513]

Re: El rotacional.

Te daré un pequeño truco para poder visualizar mentalmente la componente rotacional de un campo. Imagina un fluido que se mueve conforme a las líneas del campo fuente. Y un pequeño sólido (infinitesimal) que se mueve solidario con el campo. Si el sólido rota en ese punto el campo tiene componente rotacional tanto mayor cuanto mayor es dicha rotación y siempre dirigida según el eje de rotación del sólido y el sentido positivo de dicha rotación. No estoy seguro de que este método no tenga excepciones, pero yo lo he usado durante muchos años y a mi me ha ido bien.

Salu2, Jabato.

[isaiasgaby]

Re: El rotacional.

Pero ¿el punto del eje de rotación del sólido estaría dentro del sólido - si bien el sólido sería el punto mismo - o estaría fuera de él? Es decir, ¿el sólido gira en torno a sí mismo o lo hace respecto de un punto cualquiera?

[visitante20160513]

Re: El rotacional.

Vamos a ver, hay que precisar. En primer lugar las rotaciones se producen siempre alrededor de un eje, no de un punto, y además una rotación no es un giro. Cuando un sólido esta sometido a una rotación sus ejes principales nunca se mantienen paralelos a si mismos, es decir dichos ejes en dos posiciones muy próximas del sólido han variado un cierto ángulo. Eso es la rotación del sólido. Cuando su orientación respecto a unos ejes fijos varía.

Imagina dos lunas girando alrededor de un planeta. La primera gira manteniendo siempre la misma cara hacia el planeta, como lo hace nuestra luna, de forma que siempre hay una cara oculta. La segunda lo hace pero de forma que sus ejes principales se mantienen siempre paralelos a si mismos. En este caso la primera luna esta girando alrededor del planeta pero lo hace mediante una traslación y una rotación simultáneas, la segunda luna también está girando pero lo hace solo mediante un movimiento de traslación, así que debes distinguir entre rotación y traslación. ¡Ojo! las dos lunas están girando pero solo una está animada de movimiento de rotación.

Salu2, Jabato.

[Julián]

Re: El rotacional.

Miralo así, el sentido del rotacional sale de su propia definición

$\dst \nabla \times \vec{F} =( \lim_{ \Delta S \to 0} \frac{1}{\Delta S} {\int}_{c} \vec{F} d \vec{l} )\hat{n}$

En primera instancia tenemos una integral de linea $\dst {\int}_{c} \vec{F} d \vec{l}$ no es más que el límite de la sumatoria cuando está tiende a infinito de las proyecciones del vector F sobre la dirección tangencial de la curva. En otra palabras, es la circulación de F sobre la curva. PERO dicha curva está en una superficie $1 / \Delta S$ (como todo en el espacio) y dicha superficie tiende a cero, por lo tanto dicha curva tiende a cero o a cerrase. Por lo tanto el rotacional está evaluando la circulación de el vector sobre una curva que tiende a cero y de esta manera nos dá la información puntual de la tendencia a rotar del vector. No sé si se entiende mi explicación.

En cuanto al sentido del rotacional está directamente explicitado en la definición del rotacional por el versor $\hat {n}$ siendo esté, por conveniencia, normal a la supercie de la curva.