1r ciclo Polinomios de Legendre.

[Felpudio]

Hola, tengo una duda en las siguientes demostraciones:


$\int_{0}^1$$x{P}_{n}(x){P}_{n-1}(x)dx$$=\frac{2n}{4n^2-1}$

$\int_{0}^1$$x^2{P}_{n+1}(x){P}_{n-1}(x)dx$$=\frac{n(n+1)}{(4n^2-1)(2n-3)}$


donde ${P}_{n}(x)$ es el polinomio de Legendre de grado n. Se deben utilizar las relaciones de recurrencia, pero no se cuales utilizar.

Gracias.

[carroza]

Re: Polinomios de Legendre.

Hola.

Date cuenta que el integrando es par, con lo que puedes poner las integrales como 1/2 de la integral entre +1 y -1.

Luego, desarrolla $x P_{n-1}(x)$ como combinación de polinomios, y usa la ortogonalidad de los polinomios para resolver las integrales.

Saludos

[Breogan]

Re: Polinomios de Legendre.

Hola:

Primero aclaro que poco me acuerdo de este tema:

Hola, tengo una duda en las siguientes demostraciones:


$\int_{0}^1$$x{P}_{n}(x){P}_{n-1}(x)dx$$=\frac{2n}{4n^2-1}$

$\int_{0}^1$$x^2{P}_{n+1}(x){P}_{n-1}(x)dx$$=\frac{n(n+1)}{(4n^2-1)(2n-3)}$


donde ${P}_{n}(x)$ es el polinomio de Legendre de grado n. Se deben utilizar las relaciones de recurrencia, pero no se cuales utilizar.

Gracias.

Si al integrando de la primera integral lo llamamos:

$\dst f(x) \ = \ x{P}_{n}(x){P}_{n-1}(x)$

vamos a averiguar a que es igual f(-x):

$\dst f(- x) \ = \ (-x) {P}_{n}(- x){P}_{n-1}(- x) \ = \ (-1) \ x \ (-1)^n \ {P}_{n}(x) \ (-1)^{(n-1)} \ {P}_{n-1}(x)$

reagrupando:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

por lo tanto f(-x)=f(x) y la función es par.

Si f(x) es par resulta que:

$$\dst \int_0^1 \ f(x) \ dx = \frac 1 2 \int_{-1}^1 \ f(x) \ dx$$

Tomando la relación de recurrencia:

$\dst P_{n+1}(x) = \frac {(2n+1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x)}{n+1}$

despejamos x Pn(x):

$\dst x P_n(x) = \frac {(n+1) P_{n+1}(x) + n P_{n-1}(x)}{(2n+1)}$

Ahora queda reemplazar este resultado en el integrando de la 1º integral, usar la igualdad (1) de la integral para funciones pares, hacer la distributiva, y aplicar la condición de ortogonalidad de los polinomios de Legendre; y tendria que salir el resultado.

De la 2º integral no hice nada, pero calculo que debería salir con un procedimiento parecido, aunque a primera vista me parece que el integrando en ese caso no es par.

s.e.u.o.

Suerte

PD: mirándolo por 2º vez creo que también el integrando de la 2º integral es par.

Suerte

- - - Actualizado - - -

Continuando tal y cual lo expresado:

$\dst \int_0^1 \ \ x{P}_{n}(x){P}_{n-1}(x) \ dx \ = \ \int_0^1 \ \ \frac {(n+1) P_{n+1}(x) + n P_{n-1}(x)}{(2n+1)}{P}_{n-1}(x) \ dx \ =$


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


$\dst = \ \frac 1 2 \ \frac {n+1}{2n+1} \ \underbrace {\int_{-1}^1 \ P_{n+1}(x) \ {P}_{n-1}(x) \ dx}_{=1}$$\dst + \frac 1 2 \ \frac n {2n+1} \ \underbrace{\int_{-1}^1 P_{n-1}(x) \ {P}_{n-1}(x) \ dx}_{=0} \ =$


$\dst = \ \frac 1 2 \ \frac {n+1}{2n+1}$

El resultado me da distinto al que propones, es muy posible que me haya equivocado en algo o que el enunciado este mal. El procedimiento creo que es correcto, hay que revisar cada paso.

s.e.u.o.

Suerte