1r ciclo Limite por definición

[Alephero]

Buenas, tengo un pequeño problema con un límite:

Se trata de demostrar que [TEX] \lim_{x->2} x^{2}=4[TEX/] mediante la definición. Lo que yo hice fue plantear que si abs(x-2)<δ entonces abs(x^2-4)<ε, lo que me llevaba a que δ=ε/abs(x-2). Pero aquí mencallo. Que se supone que debo hacer? suponer una x? darle un valor arbitrario?

[Samir M.]

Re: Limite por definición

Hola,

la definición de límite es:

Sea $f : D \to \mathbb{R}$ una función definida en un subconjunto $A \subset \mathbb{R}$, y sea $x_0$ un punto de acumulación de $A$. Entonces, si $L \in \mathbb{R}$

$$\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = L \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ : \ 0 < \left | x - x_0 \right | < \delta \Rightarrow \left | f(x) - L \right | < \epsilon$$

Llevando esta definición a tu ejercicio, la idea es la siguiente (todos suelen ser parecidos). Sea $\epsilon > 0$. Entonces debemos buscar un $\delta > 0$ tal que si $0 < \left | x - 2 \right | < \delta$, entonces esto implica por la definición (1) que $\left | f(x) - 4 \right | < \epsilon$. Podemos escribir

$$\displaystyle \left | f(x) - 4 \right | = \left | x^2 - 4 \right | = \left | x +2 \right | \left | x - 2 \right |$$

Ahora, la expresión anterior debe ser menor que $\epsilon$ por la definición (1). Fíjate que si elegimos un $\delta$ adecuado, el factor $\left | x - 2 \right |$ lo podremos hacer todo lo pequeño que queramos (como se demuestra en la ecuación (4)), pero al escoger el $\delta$, es necesario controlar que el factor $\left | x +2 \right |$ no se haga muy grande. De acuerdo con esto, un valor que concuerde con lo dicho podría ser $\delta \leq 1$, por lo que si asumimos que $\delta \leq 1$ y exigimos que $\left | x - 2 \right | < \delta$ entonces

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Pero de (2) sabemos que $\left | x +2 \right | \left | x - 2 \right | < \epsilon$ y de (3) sabemos que $\left | x + 2 \right | < 5$ luego podemos escribir que

$$\displaystyle \left | f(x) - 4 \right | < 5\left | x - 2 \right | < \epsilon \text{ si } \left | x - 2 \right | < \frac{\epsilon}{5}$$

luego si cogemos $\displaystyle \delta = \text{min} \left\{1, \frac{\epsilon}{5} \right\}$, es decir, el número más pequeño de los números $1$ y $\displaystyle \frac{\epsilon}{5}$, entonces como de (4) tenemos que $\displaystyle \left | x - 2 \right | < \frac{\epsilon}{5}$, obtenemos finalmente

$\displaystyle \left | f(x) - 4 \right | < 5\left | x - 2 \right | < 5 \cdot \frac{\epsilon}{5} = \epsilon \text{ si } \left | x - 2 \right | < \delta$

Luego la demostración está finalizada.

Nota: Me he extendido mucho en los pasos para que lo entiendas mejor, esto en realidad se debería escribir en 4 líneas.

Saludos.

- - - Actualizado - - -

He actualizado una parte de la demo que podría estar confusa.

[Samir M.]

Re: Limite por definición

Hay una errata en la primera línea con la definición de la función.