1r ciclo Calculo de un límite que se me resiste

[MrM]

Buenas, mi profesor ha subido un pdf con todo lo que tenemos que saber de series (no las vamos a dar en clase porque vamos justos de tiempo), y me he puesto a practicar ejercicios, pero hay uno que se me resiste un poco.

Hay que decir si $\sum \frac{1}{n ln(n)}$ es convergente. Lo primero que hago es calcular el límite de la sucesión $\frac{1}{n ln(n)}$. Como dicho límite es 0, la serie puede converger.

Luego he intentado compararla con otras series conocidas, pero siempre acabo llegando a que "es menor a una que diverge" o "mayor a una que converge", lo cual no aclara nada.

EL criterio de la raíz no soluciona nada, pues al aplicarlo me queda que el límite es 1.

Aplico el criterio del cociente:

$Lim \frac{a_{n+1}}{a_n}=Lim \frac{nln(n)}{(n+1)ln(n+1)}=1$.

Como también me da uno, aplico el criterio de Raabe: $\dst lim n(1-\frac{a_{n+1}}{a_n})=lim n(1-\frac{nln(n)}{(n+1)ln(n+1)})=lim \frac{{n}^{2}ln(n+1) - {n}^{2}ln(n) + nln(n+1)}{(n+1)ln(n+1)}$




Ahora tengo dudas sobre si lo que he hecho está bien o no. Primero divido ese límite en $\dst lim \frac{{n}^{2}ln(n+1) - {n}^{2}ln(n)}{(n+1)ln(n+1)}- \frac{n ln (n+1)}{{(n+1)ln(n+1)}}$. Y ahora hago algo que normalmente se usa para resolver indeterminaciones de infinito

entre infinito, solo que yo lo uso para resolver la inderteminación "infinito menos infinito". En concreto, me refiero a la escala de infinitos. Lo que digo es que $\dst lim \frac{{n}^{2}ln(n+1) - {n}^{2}ln(n)}{(n+1)ln(n+1)}=\frac{0}{\infty}=0$. He llegado a esa conclusión

porque ${n}^{2}ln (n+1)$ y ${n}^{2} ln (n)$ crecen de un modo muy parecido, y por tanto su diferencia tenderá a 0. No sé si este razonamiento es correcto, pero si lo fuera, no es muy difícil demostrar que

$\dst lim\frac{{n}^{2}ln(n+1) - {n}^{2}ln(n)}{(n+1)ln(n+1)}- \frac{n ln (n+1)}{{(n+1)ln(n+1)}}= -1$.Como -1<1, la serie diverge.



¿Es correcto mi razonamiento? ¿Se os ocurre un modo mejor de hacerlo?

EDITO: investigando por ahí he visto que se puede hacer fácilmente por el criterio de la integral, pero ese es un criterio que no entra en el examen, lo que significa que se debería poder hacer de otra manera.
Un saludo.

[Samir M.]

Re: Calculo de un límite que se me resiste

Échale un ojo a esto: http://www.sosmath.com/calculus/seri.../bertrand.html

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También puedes usar al criterio de condensación de cauchy, y por comparación yo no lo veo posible..