Divulgación Hipérbola, numeros complejos

[alexpglez]

Hola, no he dado formalmente lo que es una hipérbola, he visto algunas ecuaciones acompañadas de dibujos, pero no lo sigo visualizar del todo.
Me di cuenta viendo las ecuaciones del coseno hiperbólico y el seno hiperbólico que son idénticas al seno y coseno introduciendo algún número i. (Debido a la fórmula de euler)
$\sin \i x = \i * \sinh x$
$\cos \i x = \cosh x$

Me he quedado perplejo al darme cuenta de las igualdades, por qué pasa eso¿?, cuál es la definición formal de hipérbola¿?

[Visitante]

Re: Hipérbola, numeros complejos

Hablando formalmente una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tal que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.
Imagínatelo como una sección cónica que resulta de la intersección de un plano con una superficie cónica siendo el plano paralelo a dos generatrices.

[guibix]

Re: Hipérbola, numeros complejos

Hola alexpglez,

Las funciones trigonométricas e hiperbólicas están relacionadas entre sí en el cuerpo complejo y la una es la parte imaginaria de la otra y viceversa.
Esto está relacionado con dos expresiones.

$$r^2=x^2+y^2$$

$$r^2=x^2-y^2$$

La primera es la ecuación de una circunferencia de radio $r.$ Y como saberás, esto se cumple con

$$r^2=r^2\cos^2\alpha+r^2\sin^2\alpha$$

$$1=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha$$

$r^2$ siempre es positivo o cero. Cuando es cero es que $x=0=y$

La segunda es una hipérbola que cumple la ecuación

$$r^2=r^2\cosh^2\omega-r^2\sinh^2\omega$$

$$1=\cosh^2\omega-\sinh^2\omega$$

El signo negativo implica que $r^2$ puede ser positivo, cero o negativo y eso solo tiene sentido en el cuerpo de los complejos.

Cuando $r^2=0$, entonces $|x|=|y|$, eso es una cruz perpendicular en “X” que cruza el origen a 45º de los ejes de coordenadas.

Cuando $r^2$ es positivo tenemos dos hipérbolas de radio hiperbólico $r$, situadas a derecha e izquierda cruzando en dos puntos el eje de la $x.$ Concretamente a $x=r$ y $x=-r$

Cuando r^2 es negativo tenemos dos hipérbolas de radio hiperbólico $r$, situadas arriba y abajo cruzando en dos puntos el eje de la $y.$ En ese caso $y=r$ e $y=-r.$


Básicamente la hipérbola es equivalente a la circunferencia. Una se genera haciendo girar un punto con un ángulo real y la otra con uno imaginario.

En las definiciones de las trigonométricas y las hiperbólicas usando la Identidad de Euler se pude ver bien esa relación.

$$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2},$$

$$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i},$$

$$\cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2},$$

$$\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.$$

Espero que te haya servido.

Saludos!