Secundaria Problema de polinomios

[Visitante]

Necesito ayuda con este problema:
Al dividir $p(x)$ por $(x+2), (x-2)$ y por $(x+3)$ se obtienen los restos 4, 8 y 13, respectivamente.
Determinar el resto al dividir $p(x)$ por $(x+2)(x-2)(x+3)$.
he tratado de solucionarlo pero me quedo atascado, lo que he deducido es lo siguiente:
$P(x)=z(x+2)+4$
$P(x)=m(x-2)+8$
$p(x)=n(x+3)+13$
entonces:
$p(-2)=4$
$p(2)=8$
$p(-3)=13$
y como se sabe:
$p(x)=a(x-2)(x+2)(x+3)+r$ con $r \epsilon L$
Siendo L el conjunto $L=(0,1,2....,p(x)-1)$
Pero planteo este sistema de congruencias:
$P(x)\equiv 4$ $mod (-2)$
$P(x)\equiv 8$ $mod(2)$
$P(x) \equiv 13$ $mod(-3)$
$P(x) \equiv r$ $mod(-12)$
Se me ocurre aplicar el teorema chino del resto (los tres primeros son coprimos, el 12 no evidentemente)
Pero no estoy seguro de este método así que si alguien puede ver otra manera de solucionarlo o corregirme lo agradecería.

[beliytxuri]

Re: Problema de polinomios

El resto ha de ser un polinomio de grado 2: $R(x) = A{x}^{ 2}+Bx+C$.

Plantea ahora lo que ya sabes:
$P(-2)=4$
$P(2)=8$
$P(-3)=13$.

Tenemos en cuenta que $P(x) = Q(x)(x+2)(x-2)(x+3) + R(x)$, y que, $P(\alpha) = R(\alpha),$ cuando $\alpha$ toma los valores -2, 2 ó 3, con lo que obtienes un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas $A, B, C$, que, una vez resuelto, te dará la expresión del resto $R(x)$.

Salud.