1r ciclo Runge kutta

[gaussiano]

hola, chicos, tengo un problema: he estado buscando por internet la manera de resolver un circuito RLC en regimen transitorio, donde el voltaje almacenado en el condensador V(t) verifica la ecuacion diferencial de segundo orden:$\frac{\mathrm{d2V} }{\mathrm{dt}2}+R/L \frac{\mathrm{dV} }{\mathrm{dt} }+V(t) 1/LC=0$. Pues la cuestion es que me piden resolverlo por Runge Kutta (IV) y por mucho que miro, no me aclaro. Me piden que calcule el voltaje del condensador sabiendo que C=1 F, L=0.25H, R=1 ohm, h=0.05 y que Vo=7 volts cuando Io=4A. Ni idea de por donde cogerlo, seré muy torpe, lo se, pero es que nada de nada. Si alguien pudiera plantearmelo, se lo agradeceria mucho.

[arivasm]

Re: Runge kutta

Aunque el método de Runge-Kutta lo encontrarás como que es para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, de la forma $y'(t)=f(t,y)$ se puede aplicar fácilmente a ecuaciones diferenciales de segundo orden, como la tuya, manejándolo en forma vectorial, $\vec y' =\vec f(t,\vec y)$ donde en tu caso $\vec y=(V,V')$, de manera que ${\vec y}'=(V',V'')$. De esa manera tienes que $\dst\vec f=\left(V',-\frac{V}{LC}-\frac{R}{L}V' \right)$.

Como sabes, el método RK4 parte de que si se conocen los valores de $t$ e $y$ en cierto punto, es decir, un par $t_i$, $y_i$ el valor para $t_{i+1}=t_i+h$ se aproxima mediante $\dst y_{i+1}=\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$ donde los $k$ se obtienen determinando los valores de $f$ en ciertos $t$, $y$. Por ejemplo, $k_2=f(t_i+\frac{1}{2}h,y_i+\frac{1}{2}hk_1)$.

En tu caso, la idea es que si se conocen los valores de $t_i$ e $\vec y_i$ (que es lo mismo que decir que conocemos los valores de $V_i$ y $V'_i$) entonces se aproxima el valor para $t_{i+1}=t_i+h$ de $\vec y_{i+1}$, es decir, $(V_{i+1},V'_{i+1})$, mediante $\dst \vec y_{i+1}=\frac{h}{6}(\vec k_1+2\vec k_2+2\vec k_3+\vec k_4)$.

Los $\vec k$ se obtienen de manera análoga al caso escalar. Como necesito escribir explícitamente las componentes de los vectores que aparecen usaré subíndices X e Y (que espero que no líen con la $y$ minúscula anterior). Así $\vec y=(y_X,y_Y)=(V,V')$. Las componentes del vector $\vec k_1$ las escribiré como $\vec k_1=({k_1}_X,{k_1}_Y)$, etc.

Tú tienes que $\dst\vec f=\left(V',-\frac{V}{LC}-\frac{R}{L}V' \right)$ y entonces, por ejemplo, $\vec k_2=\vec f(t_i+\frac{1}{2}h,\vec y_i+\frac{1}{2}h\vec k_1)$.

En realidad, es de agradecer el que en tu $\vec f$ no aparece $t$, de manera que basta con pensar que $\vec k_2=\vec f(\vec y_i+\frac{1}{2}h\vec k_1)$

Así, lo que debes hacer para este vector es $\dst \vec k_2=\left( V'_i+\frac{1}{2}h{k_1}_X, -\frac{V_i}{LC}-\frac{R}{L}V'_i +\frac{1}{2}h{k_1}_Y\right)$. Para que me entiendas, debes calcular $\dst {k_2}_X=V'_i+\frac{1}{2}h{k_1}_X$ y $\dst {k_2}_Y = -\frac{V_i}{LC}-\frac{R}{L}V'_i +\frac{1}{2}h{k_1}_Y$



Otro ejemplo, más sencillo, por si no me has entendido. En el método RK4 te pone que $k_1=f(t_i,y_i)$. En una EDO de orden 2 hay que manejar $\vec k_1=\vec f(t_i,\vec y_i)$. Si, como en el caso que nos ocupa, en $f$ no aparece $t$, será $\vec k_1=\vec f(\vec y_i)$. Es decir, $\dst \vec k_1=\left(V',-\frac{V}{LC}-\frac{R}{L}V' \right)$. En otras palabras, hay que calcular ${k_1}_X=V'_i$ y $\dst {k_1}_Y=-\frac{V_i}{LC}-\frac{R}{L}V'_i$.



Una vez que tengas los $\vec k$, como $\dst \vec y_{i+1}=\frac{h}{6}(\vec k_1+2\vec k_2+2\vec k_3+\vec k_4)$ la traducción a tu caso es $V_i=\frac{h}{6}({k_1}_X+2{k_2}_X+2{k_3}_X+{k_4}_X)$ y $V'_i=\frac{h}{6}({k_1}_Y+2{k_2}_Y+2{k_3}_Y+{k_4}_Y)$

[gaussiano]

Re: Runge kutta

muchas gracias, Arivasm, intentare seguir lo que tan bien me has explicado. A ver, porque a veces, soy un poco torpe jeje

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a ver, primera duda. En el enunciado me dice que se cumple que I(t)= C $dV/dt$. Y se me olvidó decir que quiere que calcule el voltaje del condensador en t=5 s. No se donde incluir t ni tampoco el valor inicial de I, que era Io= 4A

[arivasm]

Re: Runge kutta

El t sólo te aparece a través de los h. Si debes hacerlo a mano, puedes intentar aplicarlo de un solo paso, es decir, tomar h=5 s. Si lo que tienes que hacer es un programa entonces toma un h lo más pequeño posible y los 5 s simplemente te marcarán en qué iteración ($i$) debes parar.

De todos modos, el método es más preciso cuanto más pequeño sea h. Por otra parte, atendiendo a razones físicas yo recomendaría que h fuese claramente menor que el período de oscilación natural del circuito, es decir, $\sqrt{LC}/2\pi$.

Respecto de la intensidad, como necesitas conocer el primer valor del vector $\vec y=(V,V')$ debes saber los valores iniciales de V y su derivada. El dato de la intensidad te permite conocer $V'_0=I_0/C$