Secundaria Límite

[Jorge 2014]

Tengo un ejercicio que me dice: "calcula para qué valores del parámetro $a$ $\epsilon$ $R$ se verifica la igualdad: $\lim_{x \to 0}({cos (ax)}^{\frac{1}{{x}^{2}} })$"

Me sale: $\lim_{x \to 0}({cos (ax)}^{\frac{1}{{x}^{2}} }) = {1}^{ \infty}$, que es indeterminado, por lo que hago: ${e}^{\lim_{x \to 0} [\frac{1}{{x}^{2}} \cdot (cos (ax) - 1)]} = {e}^{-2}$; por lo que $\lim_{x \to 0} [\frac{1}{{x}^{2}} \cdot (cos (ax) -1)] = -2$, y al mismo tiempo sé que $\lim_{x \to 0} [\frac{1}{{x}^{2}} \cdot (cos (ax) -1)] = \infty \cdot 0$ (Indet.); $\lim_{x \to 0} [\frac{1}{{x}^{2}} \cdot (cos (ax) -1)] = \lim_{x \to 0}\frac{cos(ax) - 1}{{x}^{2} } = 0/0$ (Indet.) Aplico a L' Hôpital:

$\lim_{x \to 0} \frac{cos(ax) - 1}{{x}^{2} } \to \lim_{x \to 0} \frac{-a \cdot sen(ax)}{2x} = 0/0$, volviendo a aplicar a L'Hôpital: $\lim_{x \to 0} \frac{-a \cdot sen(ax)}{2x}$ $\to$ $\lim_{x \to 0} \frac{-{a}^{2} cos(ax)}{2 } = -2 \to {a}^{2} = 4 \to a = \pm 2$

¿Es correcto?

[The Higgs Particle]

Re: Límite

Creo que es correcto porque, primero, yo al menos no veo ningún fallo en tu desarrollo; y en segundo lugar porque, según ese resultado que te aparece a ti, $\lim_{x \to 0}[{cos (2x)}]^{\frac{1}{{x}^{2}}} = \lim_{x \to 0}[{cos (-2x)}]^{\frac{1}{{x}^{2}}} = {e}^{-2} \approx 0,135$, y con una calculadora gráfica podemos observar, que tanto para $a = 2$ como para $a = -2$, la función $f(x) = {[cos (ax)]}^{\frac{1}{{x}^{2}}}$ :

Un saludo.