2o ciclo La ruleta

[leo_ro]

Como tengo que rendir probabilidad y estadística en la universidad, y por cierto es una rama de las matemáticas que por alguna razón me desagrada por eso ya que estoy con las distribuciones de probabilidad busqué algo más interesante.

Una ruleta de casino consta de 36 númueros del 1 al 36 + el cero y el doble cero. Como suponemos que la ruleta es legal, cada número tiene la misma probabilidad de salida. Y como al sacar un número hay reposición del mismo por ende la distribución de probabilidad de la variable aleatoria es binomial.

$\dst b(x) = (38Cx) {(\frac{1}{38 })}^{x} {(1-\frac{1}{38 })}^{38-x}$

En donde 38Cx es la combinatoria. Bueno la grafica de la distribución es la siguiente:



Y tiende a cero a medida que aumenta el valor absoluto de la variable aleatoria. Por ende, el número con mayor ocurrencia es el 1. ¿Cómo se entiende esto?

Se hacemos la esperanza matemática, es decir, el valor promedio de ocurrencia:

$\mu= E[x] = \sum_{n = 1}^ {38} x f(x) = 19.5$

Que no es igual a la esperanza de la distribución binomial $\mu=np= 38 \frac{1}{ 38}=1$

¿Qué piensan?¿se aplica la distribución binomial?

[Umbopa]

Re: La ruleta

A ver creo que te has confundido en una cosa.

La distribución binomial es para un experimento binario : acierto o fallo

En este caso la distribución que has escrito ahí es la probabilidad de acertar "x" veces un número en 38 tiradas. Evidentemente la media de aciertos en 38 tiradas es 1 acierto (si juegas 38 tiradas aciertas 1 de media, lógico).

Respecto a la media y la variáncia has calculado mal, debería salirte $E[x]=38 \cdot \frac{1}{38} = 1$ y $\sigma^2[x] = 38 \frac{1}{38} (1-\frac{1}{38}) \sim 0.97$

Comprueba que hayas sumado bien.

[leo_ro]

Re: La ruleta

Si, había algo que me parecía raro. Pero con respecto al valor esperado, para la ruleta ya que no aplica la binomial por ende no aplica su valor esperado y entonces el valor esperado será:

$E[x]= \sum_{n = 1}^38 x f(x) = f(x) \sum_{n = 1}^38 x = \frac{1}{38 } \sum_{n = 1}^38 {x}_{i} = 19.5$

Ah y una cosa más, que distribución de probabilidad describiría a la ruleta. Tampoco sería la hipergeométrica.

[Umbopa]

Re: La ruleta

Claro, pero depende de la distribución de la que estemos hablando.

Si tu me preguntas, cual es la media y la desviación de los números de la ruleta, entonces tienes una distribución uniforme de probabilidad $p_i = \frac{1}{38} \hspace{0.5cm} i=1,...,38$

$\mu = \left< i \right> = \sum_{i=1}^{38} i \cdot p_i = \frac{1}{38} \sum_{i=1}^{38} i = \frac{1}{38} \frac{38 \cdot 39}{2} = 19.5$

$\left< i^2 \right> = \sum_{i=1}^{38} i^2 \cdot p_i = \frac{1}{38} \sum_{i=1}^{38} i^2 = \frac{1}{38} \frac{38 \cdot 39 \cdot 79}{6} =513.5$

$\sigma = \sqrt{513.5-19.5^2} = 11.53$

Ahora bien, estos números no tienen mucho significado porque la distribución es uniforme ...

Sin embargo, si tu ahora me preguntas, ¿ si yo juego $N$ veces a la ruleta, cuantas veces ganaré de media y con que desviación ?

Entonces la distribución de "victorias" es binomial

$\text{prob(m "victorias")} = \binom{N}{m} \left( \frac{1}{38} \right)^{m} \left(1-\frac{1}{38} \right)^{N-m}$

el número medio de victorias es

$\mu = N \frac{1}{38}$

y la desviación

$\sigma^2 = N \frac{1}{38}(1-\frac{1}{38})$

Por ejemplo si juego 1000 veces a la ruleta gano $26 \pm 5$ veces.

Y por cierto si no te gusta la estadística, te animó a que cambies de opinión porque es una de las ramas más fructíferas de las matemáticas/física. Piensa que la mayoría de la procesos reales son estocásticos y demandan un tratamiento probabilístico, jeje y sino que le pregunten al señor Boltzmann que tengo puesto en la foto xD.