Olimpiada Propuesto: Los hijos de Daniel

[angel relativamente]

Hola a todos, este es un problema propuesto para entretenerse resolviéndolo, o bien como preparación para las olimpiadas de Matemáticas. El problema y enunciado es mío, aunque me basé ligeramente en uno propuesto en una olimpiada. Ahí va:

Daniel tiene 3 hijos: Alberto, Belén y Carlos, todos menores de edad. Alberto, el pequeño de los hermanos, tiene al menos 7 años. Belén es menor que Carlos, y sus edades son congruentes módulo la edad de Alberto. Sea $P(x)$ un polinomio de 2º grado a coeficientes enteros. Sabemos que sus raíces son la edad de Alberto y un divisor positivo no trivial de la edad de Belén, mientras que al evaluar el polinomio en la edad de Belén el resultado es impar. ¿Qué edades tienen los hijos de Daniel?

Ánimo resolviéndolo, espero que os guste

Dejo la solución oculta (sin el procedimiento) para que la podáis consultar, también para los no-miembros que lean este hilo y no posteen.

SOLUCIÓN:

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7,10,17

PD: Agradecería que los procedimientos se pusieran entre los comandos [solucion] ... [/solucion] para no spoilear a futuros lectores.

[Richard R Richard]

Re: Propuesto: Los hijos de Daniel

Creo que la solucion es esta

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Daniel tiene 3 hijos: Alberto, Belén y Carlos, todos menores de edad.

quiere decir que
A<18 , B<18 y C<18

Alberto, el pequeño de los hermanos, tiene al menos 7 años. Belén es menor que Carlos,

7<=A<B<C<18

y sus edades son congruentes módulo la edad de Alberto.

el cociente de C con A tiene el mismo resto que
el cociente de B con A esto implica que C-B = n.A
n solo puede ser 1 pues sino violaria C< 18 o B<7
entonces
$C-B=A$ llamemos a esto resultado 1

Sea un polinomio de 2º grado a coeficientes enteros. Sabemos que sus raíces son la edad de Alberto y un divisor positivo no trivial de la edad de Belén,

$P(X)=(X-A)\cdot(X-B/\gamma)$

mientras que al evaluar el polinomio en la edad de Belén el resultado es impar.

$P(B)=(B-A)$$\cdot(B-B/\gamma) = impar$
esto implica que$(B-A)= impar$ resultado 2
y $(B-B/\gamma)= impar$ resultado 3

del resultado 1 y 2 tenemos $C-A = B$$\Rightarrow C-2A = B-A = impar \Rightarrow C = impar$
Entonces si $C=A+B$ con $A \geqslant 7$ y $B>A \Rightarrow C>14$
entonces C puede ser 15 o 17
lo que limita los valores de B a 10 , 9 y 8

se pueden armar 3 combinaciones $C=B+ A$
1) 15 = 8 + 7
2) 17= 9 + 8
3) 17 = 10 + 7

un divisor positivo no trivial de la edad de Belén

Los divisores no triviales para el 8 es solo el 2
Los divisores no triviales para el 9 es solo el 3
Los divisores no triviales para el 10 son el 2 y el 5

para cumplir el resultado 3
8-8/2=6 no es impar no puede ser resultado
9-9/3=6 no es impar no puede ser resultado
10-10/5 =8 no es impar no puede ser resultado
10-10/2 =5 es impar y unico resultado

entonces

¿Qué edades tienen los hijos de Daniel?

Alberto tiene 7 , Belen 10 , y Carlos 17

Saludos

[angel relativamente]

Re: Propuesto: Los hijos de Daniel

Hola Richard. Muy bien, el resultado es el correcto El procedimiento está bien pero te haré un par de puntualizaciones:

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Los divisores no triviales para el 8 es solo el 2

También el 4 es un divisor del 8. Por si no queda claro, con no triviales me refiero a distintos de 1 y 8, no necesariamente solo los divisores primos.

$P(X)=(X-A)\cdot (X-B/\gamma )$

Ese es un polinomio que tiene por ceros los que dice el enunciado, pero no el único. En general, puede estar multiplicado por una constante (entera) $k$. Eso complica tu siguiente razonamiento sobre paridad, pero con un poco de ojo puedes ver que no modifica el resultado

[Richard R Richard]

Re: Propuesto: Los hijos de Daniel

Gracias Angel,

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Lo que dices del cuatro tienes razon no lo conte como divisor, lo pense y lo descarte rapidamente buscando el numero impar.


Agregar una constante no estaba en mis planes de hacer las cosas mas facil , creo que si hubiera supuesto la k multiplicando al polinomio, como este es un valor arbitrario, lo hubiese elegido impar, pues de lo contrario contradice al enunciado, o lo hubiese eliminado dividiendo el polinomio por k.

De todas formas muy entretenido. Saludos