Olimpiada Es correcta la demostración?

[Visitante]

El problema dice así:
¿Se pueden encontrar m números consecutivos cuya suma sea un número dado s?

Mi razonamiento es el siguiente:
Sea s el número de la suma de los números consecutivos, tenemos que
$s=p+(p+1)+(p+2)+...+(p+m)=p(1+2+3+...+m+(m+1)=\frac{p(m+1)(m+2)}{2 }$
Donde p es el primer número consecutivo.
Resulta que
$s=\dst\frac{p(m+1)(m+2)}{2 }$
$2s=p(m+1)(m+2)$
Conclusión, sí se puede. Para hallarlo se calcula el doble de dicho número, de ahí se ven los divisores y si tiene dos divisores consecutivos entonces se puede poner la suma.

¿Es correcta mi solución?

[angel relativamente]

Re: Es correcta la demostración?

Hola Malevolex. De primeras veo un fallo: No es cierto que $p+(p+1)+ \cdots + (p+m) = p (1+\cdots + m + (m+1))$ pues estás diciendo que $2p=p+1, \quad 3p=p+2$ etcétera. Sin haberme pensado el ejercicio, lo único que tienes de primeras es

$$s=p+(p+1) + \cdots + (p+m-1)= mp + (1+2+\cdots + m-1) = mp + \dfrac{(m-1)m}{2}$$

Entiendo que lo que te piden es (con tu notación): Dado $m$ y $s$, calcular $p$. En ese caso un simple despeje arroja que

$$p=\dfrac{s}{m}- \dfrac{m-1}{2}$$

Por ejemplo, supón que te digo: La suma de 7 números consecutivos da 91. Basta sustituir $m=7$ y $s=91$ en (2) para ver que $p=10$, y que por tanto los números eran $10,11,12,13,14,15,16$ (puedes comprobarlo).

[Visitante]

Re: Es correcta la demostración?

Hola Malevolex. De primeras veo un fallo: No es cierto que $p+(p+1)+ \cdots + (p+m) = p (1+\cdots + m + (m+1))$

Vaya despiste!!! Ya entiendo por qué algo no me encajaba, he factorizado mal!
Ya lo hice factorizando bien y me da lo mismo.

[Richard R Richard]

Re: Es correcta la demostración?

No habia visto el enunciado hasta hoy

En el titulo dices ¿es correcta la demostración? y con Angel llegas a la formula

$p=\dfrac{s}{m}- \dfrac{m-1}{2}$

entonces veo que p debe ser entero y eso impone condiciones a m

entonces s debe ser multiplo de m si ademas m impar, para que p sea entero

y si m es par s debe ser impar , y viceversa de buenas a primeras no todos nos numeros s son posibles de obtener

ej el 2 , 4, 8, 16,22, etc no pueden obtenerse osea todos los numeros s que cumplan


$s=\dst{\left(\sum_{i=0}^n i \right)+1}$


como excepcion a esta regla veo el 7 pero en su lugar esta el 8

la explicacion es cuando haces la sumatoria hasta n y le agregas 1 ese numero debe incluir al siguiente en la lista n+1 por lo que asi

$s=\dst{\left(\sum_{i=0}^n i \right)+1}=\left( \sum_{i=0}^{n-1}i \right) + n+1$

entonces

$s-(n+1)=\dst{\left(\sum_{i=0}^{n-1}i\right)}$

pero esto es una suma consecutiva que no se puede hacer de otra manera que sumando todos los numeros hasta n-1

por lo que si o si se debe saltear n y por lo tanto el numero s no se puede formar por una escalera de numeros consecutivos

y habria excepciones multiples por ende no es regla