Olimpiada Problema de cambio de base

[Visitante]

La verdad es que este problema de da muchos problemas

El problema dice así:
Demuestra que el cuadrado de aaaa, en base (a+1), es aaab0001, siendo b=a-1
Lo que he tratado de hacer es calcular el cuadrado de aaaa en base diez, después lo paso a base a+1 por una división de polinomios. Sin embargo, me da algo raro.

¿Cómo se resuelve?

[angel relativamente]

Re: Problema de cambio de base

Es mucho más complicado de explicar que de entender La verdad es un problema bonito para dominar las bases. Bien, la idea es que hagas una multiplicación de toda la vida (por el método que te enseñaron en el colegio). Como tienes que hacer $aaaa \times aaaa$, cada línea de la multiplicación dará el mismo término, por lo que vamos a centrarnos en multiplicar $aaaa \times a$.

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En primer lugar observa que $a\cdot a = a^2$. No obstante $a^2>a$ y el número que tenemos que poner ha de ser un número entre y $a$. Del mismo modo que si en base 10 supón que obtienes 35 y te quedas con el 5 (después de haberle restado 3*10) y "te llevas" 3, ahora en base $a+1$ tenemos que restarle $k(a+1)$ y llevarnos $k$. Observa que ese $k$ ha de ser menor que $a$ (pues queremos que $a^2-(a+1)k \in \{ 0,1,2,\cdots ,a\}$, por lo que se tiene que $k=b=a-1$ para que quede $a^2-(a+1)b=1$. Es decir, tendríamos

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y me llevo $b$. En la siguiente multiplicación nos quedará $a^2+b$, pero como teníamos que $a^2=(a+1)b+1$, ahora tenemos $a^2+b=(a+1)b+1+b=(a+1)b+a$, lo que quiere decir que

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y me vuelvo a llevar $b$. Siguiendo con este proceso llegaríamos a

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Y como $a^2+b = (a+1)b + a$, el número $a^2 + b$ será de la forma $ba$ por lo que

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Ahora la multiplicación $aaaa \times aaaa$ se convierte en una suma que ya es trivial de hacer si has entendido lo anterior:


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Siento si en algunos puntos no me he explicado muy bien pero me ha costado escribirlo.

Saludos,

PD: Para convencerme, he tomado $a=9$ (y por tanto base decimal) y he hecho el desarrollo del producto hasta obtener $99980001$. Te recomiendo que lo hagas antes si no lo ves claro y así comprenderás la generalización.

[Visitante]

Re: Problema de cambio de base

Creo que lo entiendo, pero por qué te llevas $k$ o $b$?

[carroza]

Re: Problema de cambio de base

La verdad es que este problema de da muchos problemas

El problema dice así:
Demuestra que el cuadrado de aaaa, en base (a+1), es aaab0001, siendo b=a-1
Lo que he tratado de hacer es calcular el cuadrado de aaaa en base diez, después lo paso a base a+1 por una división de polinomios. Sin embargo, me da algo raro.

¿Cómo se resuelve?

Hola. Una solucion más sencilla. aaaa + 1 es (a+1)^4, o 10000 (escrito en base a+1).

$aaaa^2 = (10000 -1)^2= 100000000 - 20000 + 1$

(el binomio de newton vale en cualquier base)

Ahora, usando que $10000-2 = aaab$, obtenemos

$100000000 - 20000 + 1 = 10000(10000-2) +1 = 10000(aaab) + 1 = aaab0001$


saludos

[Visitante]

Re: Problema de cambio de base

Hola. Una solucion más sencilla. aaaa + 1 es (a+1)^4, o 10000 (escrito en base a+1).

¿De dónde sacas eso?

[carroza]

Re: Problema de cambio de base

Hola.

aaaa es el numero mas grande de cuatro cifras que puedes expresar en base (a+1). 10000 es el numero mas pequeño de 5 cifras que puedes expresar en base a+1. Por tanto, aaaa + 1 = 10000.

Como ejemplos, en base 10, 9999 + 1 = 10000. En base 2, 1111 ( o sea, 15 en base 10) + 1 = 10000 (o sea 16 en base 10).

Saludos

[Visitante]

Re: Problema de cambio de base

Ya entiendo, pero cómo se te va a ocurrir esa solución elegante??

Pd: puede que esto sea una pregunta un poco tonta pero por qué $aaaa+1={(a+1)}^{4 }$?

[carroza]

Re: Problema de cambio de base

Ya entiendo, pero cómo se te va a ocurrir esa solución elegante??

Pd: puede que esto sea una pregunta un poco tonta pero por qué $aaaa+1={(a+1)}^{4 }$?

Porque (a+1)^4 es 10000 en base (a+1), lo mismo que 2^4 es 10000 en base 2, o 10^4 es 10000 en base 10. A partir de ahi, se aplica mi argumento anterior.

Saludos

[Visitante]

Re: Problema de cambio de base

Ya esta solucionado el hilo, gracias.