Olimpiada Otro problema debases

[Visitante]

Otra vez tengo otro problema de bases que no soy capaz de resolver, dice así:

Demostrar que 1367631 es cubo perfecto en n>7

Yo lo que he pensado es hacer esto:

${m}_{10) }={n}^{ 6}+3{n}^{ 5}+6{n}^{ 4}+7{n}^{ 3}+6{n}^{2 }+3n+1$


Pero no sé cómo continuar...

[Richard R Richard]

Re: Otro problema debases

si haces

$x^3=1367631$

con

$x= a\cdot n^2+b\cdot n+c$

entonces

$x^3=(a\cdot n^2+b\cdot n+c)\cdot(a\cdot n^2+b\cdot n+c)\cdot(a\cdot n^2+b\cdot n+c)$

si desarrollas el polinomio veras que

$x^3=n^6\cdot a^3+n^5\cdot(3a^2b)+n^4\cdot(3a^2c+3ab^2)+$$n^3\cdot(6abc+b^3)+n^2(3ac^2+3b^2c)+n\cdot3bc^2+c^3$

comparando con tu numero término a término

$x^3=1\cdot{n}^{ 6}+3\cdot{n}^{ 5}+6\cdot{n}^{ 4}+7\cdot{n}^{ 3}+6\cdot{n}^{2 }+3\cdot n+1<br />$
tienes que $a^3=1$ en el primer termino y $c^3 =1$ en el ultimo

Luego $\left\{ \begin{aligned} a=1\\b=1\\c=1\end{aligned}\right.$

asi es que la representación de este número es un cubo perfecto y como necesita un 7 en el termino medio la base de representación debe ser mayor a 7 para que no necesite adicionar uno a $n^4$ osea que $6abc+b^3$sea un número de una sola cifra en la base.


Creo que por ahi viene el tema mejor demostración matemática, no se hacer espero te sea útil.