Primaria Pregunta un poco estúpida

[Volta]

Haciendo cálculos el otro día me surgió esta duda ¿A qué es igual esto?
$\dst\frac{\tan x}{ \cos x}$
Por un lado puedo hacer
$\dst\frac{\tan x}{ \cos x}=\tan x \dst\frac{1}{ \cos x}=\dst\frac{\sin x}{ \cos x} \dst\frac{1}{ \cos x}=\dst\frac{\sin x}{ {(\cos x)}^{ 2}}$
Por otro lado
$\dst\frac{\tan x}{ \cos x}=\dst\frac{\frac{\sin x}{ \cos x} }{ \cos x}=\dst\frac{\sin x \cos x }{ \cos x}=\sin x$

¿cuál es correcto y por qué?

[alar]

Re: Pregunta un poco estúpida

El primero, date cuenta en el segundo que tienes $\frac{\frac{\sin}{\cos }}{\cos }$ y esto e igual a $\frac{\sin}{{\cos}^{2 } }$, no a lo que has escrito tú.

[The Higgs Particle]

Re: Pregunta un poco estúpida

No entiendo de dónde sacas la segunda expresión.

Para simplificar, tomemos que $sin(x) = y$ y que $cos(x) = z$. Si yo tengo $\frac{\frac{y}{z}}{z} = \frac{y}{z^2}$.

En resumen, ¿cómo es que igualas $\frac{sin(x)}{cos(x)} = sin(x) \cdot cos(x)$?

- - - Actualizado - - -

PD: Cuando yo en la ESO comencé con la división de fracciones me ayudaba más el poner ":" que las fracciones.

Así, en este caso sería:
$\frac{\frac{sin(x)}{cos(x)}}{cos(x)} = \frac{sin(x)}{cos(x)} : \frac{cos(x)}{1} = \frac{sin(x) \cdot 1}{cos (x) \cdot cos(x)}$

[Volta]

Re: Pregunta un poco estúpida

Pero no es cierto que $2=\dst\frac{\frac{1}{1 }}{2 }$?
He aplicado lo mismo en el segundo.

[The Higgs Particle]

Re: Pregunta un poco estúpida

Pero no es cierto que $2=\dst\frac{\frac{1}{1 }}{2 }$?

No. $\frac{\frac{1}{1}}{2} = \frac{1}{1} : \frac{2}{1} = \frac{1}{2}$

Partes de una premisa errónea.

- - - Actualizado - - -

PD: Lo que tú quieres poner, supongo, es esto:

$2 = \frac{1}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{1} : \frac{1}{2} = {\frac{1}{2}}^{-1}$

[Volta]

Re: Pregunta un poco estúpida

Si es correcto porque
$\dst\frac{\frac{1}{ 1}}{ 2}=\frac{1}{0.5 }=2$

[The Higgs Particle]

Re: Pregunta un poco estúpida

Lo estás poniendo mal. No estás dividiendo 1 entre 0,5; lo que estás haciendo es dividir 1/1 entre 2

[Volta]

Re: Pregunta un poco estúpida

pero no es lo mismo
$\dst\frac{1}{ \frac{1}{ 2}}=\dst\frac{\frac{1}{ 1}}{ 2}$?

[The Higgs Particle]

Re: Pregunta un poco estúpida

Ahí está la clave!

No es lo mismo. En la primera es 1/(1/2) = 1/0,5. En la segunda es: (1/1):2 = 1/2

[Volta]

Re: Pregunta un poco estúpida

Ahí está la clave!

No es lo mismo. En la primera es 1/(1/2) = 1/0,5. En la segunda es: (1/1):2 = 1/2

Esto es un poco confuso, a mí me habían dicho que cuando dividiese no importaba en que orden, es decir que fuese asociativo (a*b)*c=a*(b*c) ¿por qué no pasa lo mismo con la división? y ¿Cómo puedo hacer para decirle a la calculadora como operar bien?

[The Higgs Particle]

Re: Pregunta un poco estúpida

Nosotros, cuando dividimos dos números, $a$ y $b$, tenemos que eso es:

$a/b = \frac{a}{b} = a \cdot \frac{1}{b}$.¿Pero qué ocurre si $a$, $b$ o ambos son fracciones?

Por ejemplo, supongamos que $a = \frac{c}{d}$ y $b = \frac{x}{y}$. Entonces, tenemos que

$a/b = (\frac{c}{d}) : (\frac{x}{y}) = \frac{c \cdot y}{d \cdot x}$

- - - Actualizado - - -

En la calculadora, puedes valerte de los paréntesis, como dije antes: 1/(1/2) = 1/0,5 = 2, mientras que si pones (1/1)/2 = 1/2 = 0,5

Si tenemos $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$, cierto.

Pero en las divisiones es otra cosa: $(\frac{a}{b}) : c = \frac{a}{b \cdot c}$, mientras que $a : (\frac{b}{c}) = \frac{a \cdot c}{b}$

[alexpglez]

Re: Pregunta un poco estúpida

Has oído hablar de la "regla del donut"?
Antes de eso, justificar el por qué de la regla. Tenemos que dividir es multiplicar por el inverso:

$$b : a=\frac{b}{a}= b*(a^{-1})$$

Dónde el inverso denotado con $a^{-1}$:

$$a* a^{-1}=1$$

Es evidente que es: $a^{-1}=1:a=\frac{1}{a}$
Ahora para una fracción:

$$\frac{a}{b}*(\frac{a}{b})^{-1}=\frac{a}{b}*\frac{b}{a}=1$$

Por tanto el inverso es: $(\frac{a}{b})^{-1}=\frac{b}{a}$
Entonces las cuentas que querías hacer (utilizando esta regla), (lo designo con letras para que se vea bien):

$$\frac{a}{\frac{b}{c}}=a*(\frac{b}{c})^{-1}=a*\frac{c}{b}=\frac{a*c}{b}$$

$$\frac{\frac{a}{b}}{c}=\frac{a}{b}*c^{-1}=\frac{a}{b}*\frac{1}{c}=\frac{a}{b*c}$$

Que obviamente no son iguales, ahora bien, hay reglas nemotécnicas como la que dice The higgs particle, escribir las fracciones en línea, el de arriba multiplica por el de abajo siguiente y se lleva a arriba, y el de abajo multiplica por el de arriba siguiente y se lleva a abajo.
Justificado por:

$$\frac{a}{b} : \frac{c}{d}=\frac{a}{b} * (\frac{c}{d})^{-1}=\frac{a}{b}*\frac{d}{c}=\frac{a*d}{b*c}$$

O, si no quieres pasar de:

$$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b} : \frac{c}{d}$$

también está la regla del donut:

Y en caso de no tener un número en el numerador o el denominador, siempre puedes hacer:

$$\frac{a}{\frac{b}{c}}=\frac{\frac{a}{1}}{\frac{b}{c}}$$

$$\frac{\frac{a}{b}}{c}=\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{1}}$$