Secundaria Funciones pares e impares

[The Higgs Particle]

Hola, tengo este ejercicio y no estoy segura de estar haciéndolo bien:



Partiendo de:
- Si son impares, significa que $f(x) = - f(-x)$ y que $g (x) = -g(x)$
- Si $f$ es par y $g$ impar, se cumple que $f(x) = f(-x)$ y que $g(x) = -g(-x)$

4.1. Suma
a) Ambas son impares: $(f + g)(x) = - f(-x) + (-g(-x)) = - (f + g)(-x)$. Es decir, resulta una función impar, puesto que $(f + g)(x) = - (f+g)(-x)$.

b) Si $f$ es par y $g$ es impar: . Tenemos que $(f + g)(x) = f(-x)-g(-x) = (f-g)(-x)$. No es ni par ni impar.

4.2. Multiplicación
a) Ambas son impares: Siguiendo un razonamiento similar al anterior, tenemos: $-f (-x) \cdot (-g (-x)) = (f \cdot g)(-x)$. Por lo tanto, con la multiplicación se obtiene una función par.

b) Si $f$ es par y $g$ es impar: En este caso: $(f \cdot g)(x) = f(-x) \cdot (-g (-x)) = - (f \cdot g)(-x)$, que es una función impar.

4.3. Composición
a) Ambas son impares: Si esta función es impar, ha de cumplirse que $f(g(x)) = - f(-g(x))$. En este caso, $f(g(x)) = -f(-(-g(-x)) = -f(g(-x)) \neq - f(-g(x))$. Es decir, la función resultante de esta composición no es impar. Tampoco es par, pues si lo fuera debería cumplir que $(f \circ g)(x) = f(-g(x))$.

b) Si $f$ es par y $g$ es impar: En este caso: $f \circ g = f(-(-g(-x)) = f (g(-x))$, por lo que no es ni impar ni par.

Muchas gracias!

[Alriga]

Re: Funciones pares e impares

4.2. Multiplicación
a) Ambas son impares: Siguiendo un razonamiento similar al anterior, tenemos: $-f (-x) \cdot (-g (-x)) = -f(-x) + g(-x) = (g -f ) (-x) \neq - (f + g)(-x)$. Por lo tanto, con la multiplicación no se cumple que la función resultante es impar. Tampoco es par porque entonces debería cumplirse que $(f \cdot g)(x) = (f \cdot g)(-x)$.

Repasa esta porque la tienes mal seguro, el producto de impares es par.

f(-x)·g(-x)=-f(x)·(-g(x))=f(x)·g(x)

4.3. Composición
a) Ambas son impares: Si esta función es impar, ha de cumplirse que $f(g(x)) = - f(-g(x))$. En este caso, $f(g(x)) = -f(-(-g(-x)) = -f(g(-x)) \neq - f(-g(x))$. Es decir, la función resultante de esta composición no es impar. Tampoco es par, pues si lo fuera debería cumplir que $(f \circ g)(x) = f(-g(x))$.

Esta también la tienes mal, la composición de impares es impar.

f(g(-x))=f(-g(x))=-f(g(x))

b) Si $f$ es par y $g$ es impar: En este caso: $f \circ g = f(-(-g(-x)) = f (g(-x))$, por lo que no es ni impar ni par

Incorrecto también, si f es par y g impar la composición es par.

f(g(-x))=f(-g(x))=f(g(x))

Saludos.

[The Higgs Particle]

Re: Funciones pares e impares

el producto de impares es par.

He corregido la multiplicación de arriba; no sé por qué de repente puse sumas

Ya he entendido lo de la composición; mis desarrollos estaban incompletos. Gracias!